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第四部分大学数学知识第一章数学分析1.【答案】A【解析】本题主要考察无穷小量的性质。当x→∞时，1𝑥为无穷小量，sinx为有界量。根据无穷小量的性质可知，无穷小量乘有界量为无穷小量，所以lim𝑥→∞1𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=0.故选A。2.【答案】D【解析】本题主要考察等价无穷小的相关知识。lim𝑥→0𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥3=lim𝑥→0𝑥2(𝑥3)2=9.故选D。3.【答案】利用洛必达法则，lim𝑥→0𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2(𝑒2−1)=lim𝑥→01−𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑥(𝑒2−1)=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥2(𝑒2−1)=0。4.【答案】1【解析】本题考查的是极限的相关知识。lim𝑥→0𝑥2018√1+𝑥2018−√1−𝑥2018=lim𝑥→0𝑥2018(√1+𝑥2018+√1−𝑥2018)(√1+𝑥2018−√1−𝑥2018)(√1+𝑥2018+√1−𝑥2018)=lim𝑥→0√1+𝑥2018+√1−𝑥20182=1.5.【答案】D【解析】本题考查的是函数与导数的相关知识。f＇(x)=2x-3，则可设f(x)=x2-3x+m的图象过点(1,-6)，即f(1)=-6，可得m=-4，f(x)=x2-3x-4。解不等式f(x)>0得x>4或x<-1。D项正确。6.【答案】B【解析】本题考查求导的知识。f（x2）x4x21，所以f（x）x2x1，f′（x）2x1，f′（1）213。7.【解析】由题意得，点(1,1)在曲线上，对曲线方程xlny+y−2x=−1两边同时对x求导得lny+𝑥𝑦𝑦′+𝑦′−2=0，即𝑦′=(2−𝑙𝑛𝑦)𝑦𝑥+𝑦，因此曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=𝑦′|(1,1)=21+1=1，所以法线斜率为𝑘′=−1，所以法线方程为x+y-2=0。8.【参考答案】（1）由题意得，函数f(x)的定义域(0,+∞)，f′(x)=2x+4𝑥，当x∈[1,e]时f′(x)=2x+4𝑥>0恒成立，即f(x)在[1,e]上为单调递增函数，故f(x)min=f(1)=1，f(x)max=f(e)=e2+4（2）证明：欲证当x∈[1,+∞]时，函数f(x)的图象在函数g(x)=2x3的图象下方，即x2+4lnx<2x3在[1,+∞]上恒成立，即2x3-x2-4lnx>0在[1,+∞]上恒成立。令h(x)=2x3-x2-4lnx，h′(x)=6x2-2x-4𝑥=6𝑥3−2𝑥2−4𝑥=2(𝑥−1)(3𝑥2+2𝑥+2)𝑥，当x∈[1,+∞]时，x-1≥0，3𝑥2+2𝑥+2>0恒成立，所以h′(x)≥0恒成立，即h(x)在[1,+∞]上单调递增，则h(x)≥h(1)=1，故h(x)>0恒成立。因此，当x∈[1,+∞]时，函数f(x)的图象在函数g(x)=2x3的图象下方。9.【参考答案】（1）由题意得，函数f(x)的定义域(0,+∞)，f′(x)=lnx+1。由f′(x)>0，解得x>1𝑒，由f′(x)<0，解得x<1𝑒。所以函数f(x)在(0,1𝑒)上单调递减，在(1𝑒,+∞)上单调递增。（2）不等式2f(x)≤3x2+2ax+3对一切x∈(0,+∞)恒成立，可得a≥lnx−3𝑥2−12𝑥，在(0,+∞)上恒成立。设h(x)=lnx...