考研数三2011.doc

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 (1) 已知当时，函数与是等价无穷小，则：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (2) 设函数在处可导，且，则=（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (3) 设是数列，则下列命题正确的是：（ ） (A) 若收敛，则收敛. (B) 若收敛，则收敛. (C) 若收敛，则收敛. (D) 若收敛，则收敛. (4) 设，，，则的大小关系是：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (5) 设为阶矩阵，将的第列加到第列得矩阵，再交换的第行与第行得单位矩阵，记，，则（ ） (A) ． (B)． (C) ． (D) ． (6) 设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (7) 设与为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是：（ ） (A)． (B) ． (C) ． (D) ． (8) 设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量和，有：（ ） (A) ，． (B) ，． (C) ，． (D) ，． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上． (9) 设，则_________. (10) 设函数，则_________. (11) 曲线在点处的切线方程为_________. (12) 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为_________. (13) 设二次型的秩为，的各行元素之和为，则在正交变换下的标准形为_________. (14) 设二维随机变量服从正态分布，则=_________. 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (15) (本题满分10分) 求极限． (16) (本题满分10分) 已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，，求. (17) (本题满分10分) 求. (18) (本题满分10分) 证明方程恰有两个实根. (19) (本题满分10分) 设函数在区间上具有连续导数，，且满足， ，求的表达式. (20) (本题满分11分) 设向量组不能由向量组 线性表示． (I) 求的值； (II) 将用线性表示. (21) (本题满分11分) 设为阶实对称矩阵，的秩为，且． (I) 求的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵． (22) (本题满分11分) 设随机变量与的概率分布分别为 且． (I) 求二维随机变量的概率分布； (II) 求的概率分布； (III) 求与的相关系数． (23) (本题满分11分) 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域． (I) 求边缘概率密度； (II) 求条件概率密度．