2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）.doc

2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级） 一、填空题（共3小题，每小题8分，满分24分） 1．（8分）算式999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1的计算结果的各位数字之和是　 　． 2．（8分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是　 　． 3．（8分）把1﹣8这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有　 　不是整数． 二、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分） 4．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比AD长2，那么三角形ABC的面积是　 　． 5．（12分）如图，7×7的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那么，表格中所有数的和是　 　． 1 2 5 3 3 4 2 1 5 4 6．（12分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过　 　分钟才能追上乙． 三、填空题（每小题15分，满分75分） 7．（15分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？ 8．（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是　 　． 9．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是　 　． 10．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足： ①A+B+C＝79 ②A×A＝B×C 那么，这个自然数是　 　． 11．（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？ 2013年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级） 参考答案与试题解析 一、填空题（共3小题，每小题8分，满分24分） 1．（8分）算式999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1的计算结果的各位数字之和是　45　． 【解答】解：由于计算过程没有出现进位借位，故结果各位数字之和就是式中各数的各位数字之和相加减， 原式＝9×9﹣8×8+7×7﹣6×6+5×5﹣4×4+3×3﹣2×2+1×1（mod10） ＝（9+8）（9﹣8）+（7+6）（7﹣6）+…+（3+2）（3﹣2）+1＝9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45， 故答案为45． 2．（8分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是　160　． 【解答】解： （1）积的最高位是2，可以得出前面两次算出的积的最高位都是1，再由此推出第一个乘数的第一位是1，最后一位是3； （2）根据积的个位是1，可以知道两个乘数的个位数字的积的末尾是1，结合上第一个乘数的个位是3，就能确定第二个乘数的个位是7； （3）因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多，也就能确定第二个乘数的十位数字是1； （4）根据第一个乘数乘7的积是一千零几，可以推出第一个乘数的十位数字是4． 故这题中两个乘数是143和17，第一次算出的积是1001，第二次的积是143，最后的积是2431． 因此这两个乘数的和是143+17＝160． 3．（8分）把1﹣8这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有　4个　不是整数． 【解答】解：奇偶性问题1～8八个数4奇4偶，上下两组各4个数同时满足相邻和为偶数，唯一情况为上下另组数分别同奇同偶．即上面4个为奇数，下面4个为偶数或者上面4个为偶数，下面4个为奇数． 所以上下4组数和都是奇数，即它们的平均数都不是整数． 所以有4个不是整数． 故答案为4个． 二、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分） 4．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比AD长2，那么三角形ABC的面积是　24　． 【解答】解：作CE⊥AB于E． ∵CA＝CB，CE⊥AB， ∴CE＝AE＝BE， ∵BD﹣AD＝2， ∴BE+DE﹣（AE﹣DE）＝2， ∴DE＝1， 在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2＝24， ∴S△ABC＝•AB•CE＝CE2＝24， 故答案为24 5．（12分）如图，7×7的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那么，表格中所有数的和是　150　． 1 2 5 3 3 4 2 1 5 4 【解答】解：首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个1，与其唯一相邻的空白空格必须为1，以此类推，第二行第一个5也具有唯一相邻空格．逆推得出唯一图形．相加求和为150． 故答案为150． 6．（12分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过　330　分钟才能追上乙． 【解答】解：法一：假设甲一小时走5米，乙一小时走2米，列表如下： 时间 甲（米） 乙（米） 时间 甲（米） 乙（米） 0小时 0 4 3小时 7.5 10 0.5小时 2.5 5 3.5小时 10 11 1小时 2.5 6 4小时 10 12 1.5小时 5 7 4.5小时 12.5 13 2小时 5 8 5小时 12.5 14 2.5小时 7.5 9 5.5小时 15 15 观察得5.5小时恰好追上（如果这时间超过了乙，就要用具体追及公式计算追及时间） 法二：也可以设甲的速度为每小时10a（甲要休息，实际每小时走5a），乙的速度为每小时4a，因此要追8a．半小时内最多追3a，可以先从要追的8a中扣除3a，因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止3a）．之后再开始按每半小时列出，若不够半小时的话，用追及公式算．前面追的5a，相当于每小时追a，可以用5a÷（5a﹣4a）＝5（小时）计算．之后，甲半小时再走2a，乙再走5a，加上还差的3a，正好追上．因此，要追5.5小时，即330分钟． 故答案为：330． 三、填空题（每小题15分，满分75分） 7．（15分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？ 【解答】解：5×（5﹣1）÷2＝10（场） 比赛一共10场，总分在20到30分之间． 五位数恰是15的倍数，利用整除性可知，E可为0或者5，考虑到E最小，如果，总分最小为8+7+6+5+5＝31分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分． 第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24．对三种情况分别讨论： （1）总分30分： 即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分30分情况不存在． （2）总分27分： 经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，所以此为一解，比赛3场平局． （3）总分24分： 在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同． 所以总分24分情况不存在． 综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局． 8．（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是　127　． 【解答】解：由题意，正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形，平行四边形要求偶数个三角形，2013是奇数，只能拼成梯形，而且是等腰梯形． 设梯形的下底边长为a、上底边长为b，则腰的长度为（a﹣b），所以，周长为（a+b）+2（a﹣b）． 因为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2013＝3×11×61，积一定差小和小，所以：（a+b）×2（a﹣b）＝2×3×11×61＝61×66， 当a+b＝61、2（a﹣b）＝66时，差小，和就小，最小周长为：66+61＝127．（a＝47，b＝14可以不必求出来） 故答案为127． 9．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是　141　． 【解答】解：如图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知SABCM＝SCDEN＝SEFAK＝六边形面积， 根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称， △AKP，△CMQ，△ENR三个三角形是一样的，有KP＝RN，AP＝ER，RP＝PQ， ＝，则＝，＝，由鸟头定理可知道3×KP×AP＝RP×PQ， 综上可得：PR＝2KP＝RE，那么由三角形AEK是六边形面积的，且S△APK＝S△AKE， S△APK＝SABCDEF＝47，所以阴影面积为47×3＝141 故答案为141． 10．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足： ①A+B+C＝79 ②A×A＝B×C 那么，这个自然数是　441　． 【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N＝x2y2，或者N＝x8，（1）当N＝x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足A×A＝B×C，不可能． （2）当N＝x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足A×A＝B×C， ①A＝x，B＝1，C＝x2，则x+1+x2＝79，无解． ②A＝xy，B＝1，C＝x2y2，则xy+1+x2y2＝79，无解． ③A＝xy，B＝x，C＝xy2，则xy+x+xy2＝79，无解． ④A＝xy，B＝x2，C＝y2，则xy+x2+y2＝79，解得：，则N＝32×72＝441． ⑤A＝x2y，B＝x2y2，C＝x2，则x2y+x2y2+x2＝79，无解． 故答案为441． 11．（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？ 【解答】解： ， 有25个约数的末两位为25（这就是说，这个数含有质因数5）平方数，一定形如a4×b4或c4（显然太大，放弃），至少为24×54＝10000，不是四位数， 所以这个平方数数字和为9（这就是说，这个数含有质因数3），含有9个约数，那么形如a2×b2或c8， 32×172＝2601 答：这个四位数是2601． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/5 18:00:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第9页（共9页）