2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷c（小学组）.doc

2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C（小学组） 一、填空题（每小题10分，共80分） 1．（10分）3+5+7＝　 　． 2．（10分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的，接着增加了4个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了　 　天． 3．（10分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的．排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的 距离为　 　千米． 4．（10分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯．晚上9时37分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有　 　个小彩灯． 5．（10分）在边长为2厘米的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，2厘米为半径画四分之一圆，交点E，F，G，H，如图所示．则中间阴影部分的周长为　 　厘米．（取圆周率π＝3.141） 6．（10分）用同一种颜色对4×4方格的7个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如图）．那么共有　 　种涂色的图案． 7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　 　（立方厘米） 8．（10分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则可能的线路号有　 　个． 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．（10分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数的最大值是多少？ 10．（10分）长方形ABCD的面积是70平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积． 11．（10分）不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是　 　． 12．（10分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？ 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．（15分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足 ， 则n的最小值是多少？ 14．（15分）一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0＜a≤60．现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？ 2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C（小学组） 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题10分，共80分） 1．（10分）3+5+7＝　17　． 【分析】直接通分，化为同分母分数相加计算即可． 【解答】解：3+5+7 ＝3+5+7 ＝17． 故答案为：17． 2．（10分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的，接着增加了4个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了　40　天． 【分析】把这项工程看作单位“1”，用“÷30÷8＝”求出1人1天的工作效率，则8+4＝12个人工作效率和为×12＝，剩下的工作总量是1﹣＝，然后根据：工作总量÷工作效率＝工作时间“求出后来用的时间，进而求出完成这项工程共用的时间． 【解答】解：一个人的工作效率是：÷30÷8＝， 8+4＝12（人） 12个人的工作效率和为：×12＝， 共需：（1﹣）÷+30 ＝10+30 ＝40（天） 答：那么完成这项工程共用了40天． 故答案为：40． 3．（10分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的．排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的 距离为　36　千米． 【分析】设A、B相距为X；乙的速度是V，则甲的速度为1.2V；当乙走了4000的时候，甲肯定走了4800；假设乙排除故障的时间为t，那这段时间甲走的距离为1.2V×（×）＝0.2X；我们假设从乙排除故障以后的时间为T，可列出：4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT；我们得出800+0.2X＝0.4VT；因为X＝4000+1.6VT，代入得出：VT＝20000，则进而算出X＝36000米＝36千米． 【解答】解：设A、B相距为X；乙的速度是V，则甲的速度为1.2V： 当乙走了4000的时候，甲走了：4000×1.2＝4800（米）； 设乙排除故障的时间为t，那这段时间甲走的距离为：1.2V×（×）＝0.2X； 设从乙排除故障以后的时间为T，可列出：4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT； 得出800+0.2X＝0.4VT； 因为X＝4000+1.6VT，代入得出：VT＝20000，把VT＝20000代入4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT， 得出：X＝36000米＝36千米． 答：A，B两地之间的：距离为36千米． 故答案为：36． 4．（10分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯．晚上9时37分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有　11　个小彩灯． 【分析】首先分析以整点钟面为例，当9点时再走37分20秒，计算出时针的路程和分针的路程找到中间的格数差即可． 【解答】解：依题意可知： 从晚上9点开始，分针走了37格20秒时，时针走（37+）×＝3； 时针走了3格多．分针果了37，那么就是38到48之间的共有11个． 故答案为：11． 5．（10分）在边长为2厘米的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，2厘米为半径画四分之一圆，交点E，F，G，H，如图所示．则中间阴影部分的周长为　4.188　厘米．（取圆周率π＝3.141） 【分析】如图所示：由题意很容易就可以得出△ABF为等边三角形，则弧为圆的周长，同理弧 也为圆的周长，所以弧 ＝+﹣＝圆的周长，同理其余三段也为圆的周长，故阴影部分图形的周长＝圆的周长，再据圆的周长公式即可得解． 【解答】解：依题易知△ABF为等边三角形， 故弧为圆的周长，同理弧 也为圆的周长，所以弧 ＝+﹣＝圆的周长，同理其余三段也为圆的周长， 故阴影部分的周长＝圆的周长＝＝4.188（厘米）； 答：中间阴影部分的周长为4.188厘米． 故答案为：4.188． 6．（10分）用同一种颜色对4×4方格的7个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如图）．那么共有　9　种涂色的图案． 【分析】按照要求把4x4方格的7个格子进行涂色，左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数，把7分成几个数的和，左边的数最大是4，例如4+3＝7，涂在第一列开始到第三列开始有3种图案； 3+2+2＝7，分别从1、2列开始涂色，有2种图案； 3+2+1+1，只有从第1列开始涂色，有1种图案； 4+1+1+1，只有从第1列开始涂色1种图案； 4+2+1＝7，分别从1、2列开始涂色，有2种图案； 把它们加起来，即可得解． 【解答】解：如图， 3+2+1+1+2＝9（种）， 答：那么共有9种涂色的图案． 故答案为：9． 7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　9000　（立方厘米） 【分析】观察三视图可知，原来的几何体是四棱锥，底面积为30×30，高为30，根据锥体的体积公式＝sh计算即可． 【解答】解：观察三视图可知，原来的几何体是四棱锥，底面积为30×30，高为30， 所以×30×30×30＝9000立方厘米， 故答案为9000． 8．（10分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则可能的线路号有　5　个． 【分析】根据七支荧光管能组成一个数字，则在351基础上讨论可能的所有情况即可． 【解答】解：把三个数字“351”看成一个三位数， 坏在个位上，1加上1个荧光管，可以变成7，所以可能是357， 坏在十位上，5加上一个荧光管可以变成6或者9，所以可能是361，391； 坏在百位上，3加上一个荧光管可以变成9，所以可能是951； 还有一种情况，路线就是351，坏的正好处在不需要亮的位置． 答：一共有5个不同的线路． 故答案为：5． 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．（10分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数的最大值是多少？ 【分析】根据题干，要使四位数的值最大，则上面的两位数加数和三位数加数的值应该最小，则两位数加数最小是10，三位数加数最小是100，则四位数的最大值就是2011﹣100﹣10＝1901． 【解答】解：根据题干分析可得，两位数加数最小是10，三位数加数最小是100， 则四位数的最大值就是2011﹣100﹣10＝1901． 答：四位数的最大值是1901． 10．（10分）长方形ABCD的面积是70平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积． 【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可． 【解答】解：三角形ADF＝70÷2＝35（平方厘米）， 因为点D为EG的中点， 所以三角形AED+三角形DFG＝35（平方厘米）， 梯形AFGE的面积：35+35＝70（平方厘米）， 答：梯形AFGE的面积是70平方厘米． 11．（10分）不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是　17　． 【分析】在正整数中，三个最小的合数是4，6，8，先计算它们的和，然后将其与最接近的奇数比较，最后再来证明此结论的正确性． 【解答】解：在正整数中，三个最小的合数是4，6，8，它们的和是4+6+8＝18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数． 下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示． 由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k（k＝）的和来表示． 综上所述，不能表示为3个不相等的合数的和的最大奇数是17． 故答案为：17． 12．（10分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？ 【分析】设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是7k+a，k 是整数，7k+a≤31．要求有三个奇数．然后分当a＝1时，当a＝2时，当a＝3时，4≤a≤7时，进行讨论，作出解答． 【解答】解：设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是7k+a，k 是整数，7k+a≤31． 当a＝1时，要使7k+1 是奇数，k 为偶数，即k 可取0，2，4 三个值，此时，7k+a＝7k+1，分别为1，15，29，这时21号是星期六． 当a＝2时，要使7k+2 是奇数，k 为奇数，即k 可取1，3 两个值，7k+2 不可能有三个奇数． 当a＝3时，要使7k+3 是奇数，k 为偶数，即k 可取0，2，4 三个值，此时7k+a＝7k+3，分别为3，17，31，这时21号是星期四． 当4≤a≤7时，7k+a不可能有三个奇数． 故答案为：4或6． 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．（15分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足 ， 则n的最小值是多少？ 【分析】当n是15的倍数时，得到的整数商是1、2、3、…k，所以前14个分数取整都是0，从＝1后面，令每15个分数的取整分别为1、2、3、…k，所以可以得到：14×0+15×1+15×2+15×3+…+15×k＝15×（1+2+3+…+k）＞2000，即（k+1）×k＞，然后讨论k的取值范围即可． 【解答】解：当n是15的倍数时，前14个分数取整都是0，从＝1后面，令每15个分数的取整分别为1、2、3、…k，所以可以得到： 14×0+15×1+15×2+15×3+…+15×k＝15×（1+2+3+…+k）＞2000， 即（k+1）×k＞，则（k+1）×k≥267， 先找到接近的整数， 则，15×（15+1）＝240 （16+1）×16＝272， 当k＝16时，即n＝15×（16﹣1）+1+14＝240 则，以前的数取整的和是： 即，15×（1+2+3+…+15）＝1800， 1800＜2000， 还差2000﹣1800﹣＝184， 所以，还需要再向后取184÷16≈12个， 所以，n的最小值是：240+12＝252． 答：n的最小值是252． 14．（15分）一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0＜a≤60．现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？ 【分析】由题意，长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0＜a≤60，由此可知水深是个未知数，不确定，因此要分情况来讨论，根据放入铁块后不同的水深讨论解答即可． 【解答】解：由题设知 容器底面积S＝40×25＝1000， 体积V＝1000×60＝60000， 铁块底面积S铁＝10×10＝100， 铁块体积V铁＝10×10×10＝1000， （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为60时， 1000a+1000＝60000，得 a＝59． 所以，当59≤a≤60 时，水深为60（多余的水溢出）． （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10 时， 1000a+1000＝10000，得 a＝9． 所以，当9≤a＜59 时，水深为＝a+1； （3）由（2）知，当0＜a＜9 时，设水深为x，则 1000x＝1000a+100x，得x＝a； 答：当0＜a＜9 时，水深为a；当9≤a＜59 时，水深为a+1；当59≤a≤60时，水深为60． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:53:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第12页（共12页）