2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）.doc

2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组） 一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分） 1．（8分）计算：2011﹣（9×11×11+9×9×11﹣9×11）＝　 　． 2．（8分）如图，5个相同的小长方形拼成一个大正方形，已知大正方形的周长比一个小长方形的周长多10厘米，那么小长方形的周长是　 　厘米． 3．（8分）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗．已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿，在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一个小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上有21个头，73条腿，那么这时共有　 　只小怪兽． 4．（8分）在一个4×4的方格纸内按下面的要求放入糖块：（1）每个格内都要放入糖块；（2）相邻的格子中，左边格比右边格少放1块，上面格比下面格少放2块，（3）右下角的格子里放了20块糖，那么方格纸上共放了　 　块糖．（相邻的格子是指有公共边的格） 二、填空题（每题10分，共40分） 5．（10分）乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是7厘米的大正方形盒子的底层．如果小正方形的边长都是2厘米，等腰直角三角形的斜边长都是3厘米，那么两种图形他最多可以各放进　 　个． 6．（10分）如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是　 　厘米． 7．（10分）有37个人排成一行一次报数，第一个人报1，以后每人报的数都是把前一人报的数加3，报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011，那么是第　 　个人报数的人报错了． 8．（10分）麦斯将9个不同的自然数填入图中的九个空格内，使每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等．已知A和B的差为14，B和C的差也为14，那么D和E的差是　 　． 三、填空题（每题12分，共48分） 9．（12分）如图，有一个4×8的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C走一步可走到D或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B处共有　 　种不同的走法． 10．（12分）大小箱子共62个，小箱子5个一吨，大箱子3个一吨．现要用一辆卡车运走这些箱子．如果先装大箱子，大箱子装完后恰好还可以装15个小箱子．如果先装小箱子，小箱子装完后恰好还可装15个大箱子．那么这些箱子中，大箱子有　 　个． 11．（12分）一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天： 赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．” 他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝　 　． 12．（12分）在如图的每个圆圈中，各填入一个不为0的数字，使得所有有线段连接的相邻两个圆圈内数的差至少为2，而且每个数字都恰好出现两次．那么A×B的值是　 　． 2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组） 参考答案与试题解析 一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分） 1．（8分）计算：2011﹣（9×11×11+9×9×11﹣9×11）＝　130　． 【解答】解：2011﹣（9×11×11+9×9×11﹣9×11） ＝2011﹣9×11×（11+9﹣1） ＝2011﹣9×11×19 ＝2011﹣99×19 ＝2011﹣（100﹣1）×19 ＝2011﹣1900+19 ＝111+19 ＝130； 故答案为：130． 2．（8分）如图，5个相同的小长方形拼成一个大正方形，已知大正方形的周长比一个小长方形的周长多10厘米，那么小长方形的周长是　15　厘米． 【解答】解：依题意可知： 大正方形的周长比小正方形的周长多8个小正方形的宽．所以小长方形的宽等于10÷8＝1.25（厘米）． 大正方形的边长为1.25×5＝6.25（厘米）． 所以小长方形的周长为（6.25+1.25）×2＝15（厘米）． 故答案为：15 3．（8分）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗．已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿，在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一个小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上有21个头，73条腿，那么这时共有　13　只小怪兽． 【解答】解：去掉奥特曼还有20个头71条腿． 假设全是没有分身的怪兽，那么20个头对应的10个小怪兽有50条腿． 那么少了71﹣50＝21条腿． 每分身一次增加2×6﹣5＝7（条），21÷7＝3（只） 一共有10+3＝13（只） 故答案为：13 4．（8分）在一个4×4的方格纸内按下面的要求放入糖块：（1）每个格内都要放入糖块；（2）相邻的格子中，左边格比右边格少放1块，上面格比下面格少放2块，（3）右下角的格子里放了20块糖，那么方格纸上共放了　248　块糖．（相邻的格子是指有公共边的格） 【解答】解：由题意可知，方格内的糖块数量如图所示，发现中心对称的一对格子里面一共有31块糖， ∴共有＝248块糖． 或11+12+13+14+13+14+15+16+15+16+17+18+17+18+19+20＝248 故答案为248． 二、填空题（每题10分，共40分） 5．（10分）乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是7厘米的大正方形盒子的底层．如果小正方形的边长都是2厘米，等腰直角三角形的斜边长都是3厘米，那么两种图形他最多可以各放进　7　个． 【解答】解：“各放进”应该是两种放的个数相等， 因为每一个小正方形和一个三角形面积之和为2×2+3×3÷4＝6.25， 大正方形的面积7×7＝49， 而49÷6.25＝7.84， 所以最多各放进7个， 下面图形说明可以做， 6．（10分）如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是　7　厘米． 【解答】解：依题意可知： 图中有8个奇点，需要去掉三条边剩余2个奇点，无论去掉两条长度为3的和长度为1的，还是去掉长度为5的和两条长度为1的总和都是7． 故答案为：7 7．（10分）有37个人排成一行一次报数，第一个人报1，以后每人报的数都是把前一人报的数加3，报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011，那么是第　34　个人报数的人报错了． 【解答】解：这37个人报的数是以1为首项，3为公差的等差数列， 第37个数为1+（37﹣1）×3＝109， 这37个数的和为（1+109）×37÷2＝2035， 2035﹣2011＝24， 由于报错人把数据少了6， 24÷6＝4 也就是第37、36、35、34人报错了， 即第34个人报数的人报错了． 故答案为：34． 8．（10分）麦斯将9个不同的自然数填入图中的九个空格内，使每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等．已知A和B的差为14，B和C的差也为14，那么D和E的差是　49　． 【解答】解：令A＝28，B＝14，C＝0， 28+14﹣0＝42 28+42﹣14＝56 28+42﹣0＝70 56+42＝98 28+14＝42 98﹣42＝56 （70﹣56）÷2 ＝14÷2 ＝7 70﹣7＝63 如图所示： 56﹣7＝49 答：D和E的差是49． 故答案为：49． 三、填空题（每题12分，共48分） 9．（12分）如图，有一个4×8的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C走一步可走到D或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B处共有　8　种不同的走法． 【解答】解：如图所示， 跳到点C只有1种跳法， 跳到点D只有A﹣C﹣D这1种跳法， 跳到点E只有A﹣C﹣E这1种跳法， 跳到点F有A﹣C﹣D﹣F、A﹣C﹣E﹣F这2种跳法， 跳到点G只有A﹣C﹣D﹣G这1种跳法， 跳到点H有A﹣C﹣D﹣G﹣H、A﹣C﹣D﹣F﹣H、A﹣C﹣E﹣F﹣H这3种跳法， … 所以跳到点I有2种跳法、跳到点J有2+3＝5种跳法、 跳到点K有3种跳法、跳到点L有3+5＝8种跳法、 跳到点M有5种跳法、跳到点N有8+5＝13种跳法、跳到点B有8种跳法， 故答案为：8． 10．（12分）大小箱子共62个，小箱子5个一吨，大箱子3个一吨．现要用一辆卡车运走这些箱子．如果先装大箱子，大箱子装完后恰好还可以装15个小箱子．如果先装小箱子，小箱子装完后恰好还可装15个大箱子．那么这些箱子中，大箱子有　27　个． 【解答】解：设大箱子有x个，则小箱子有62﹣x个， 所以大箱子的重量是吨，小箱子的重量是吨， 所以+15÷5×1＝+15÷3×1 ＝+5 +3＝﹣+17.4 +3＝﹣+17.4 +3＝17.4 +3﹣3＝17.4﹣3 ＝14.4 ＝14.4 x＝27 答：大箱子有27个． 故答案为：27． 11．（12分）一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天： 赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．” 他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝　69573　． 【解答】解：根据分析，因为104和108都空着，而孙的楼上楼下都有人了，所以孙住在左侧， 只有钱一家住在最高层，说明剩余4人住在101，102，103，105，106，107，里面的6家， 全空着的一层只能是第一层或第二层，这样才能使得孙和楼上楼下都有人． 如果全空着的是第一层，则李住在第二层的103，李氏最后入住的，所以孙住在107， 且105和109都在这之前有人住了，赵是第三个入住的，所以孙一定是第四个入住的，根据钱的话， 钱住在109，有对门的是105和106，周住在106，所以赵住在105，而且周的第一个入住的， 故答案是：69573． 12．（12分）在如图的每个圆圈中，各填入一个不为0的数字，使得所有有线段连接的相邻两个圆圈内数的差至少为2，而且每个数字都恰好出现两次．那么A×B的值是　18　． 【解答】解：依题意可知：设出字母表示： 剩余的数字有1个1，2，5．还有2个3，6，7，9共11个数字． 根据F只能填写数字1或者2，无论填写那个E只能写6，进一步推出A和F只能是1和2．现在C只能填写9，D只能填写3． 由于题目中有唯一的解：现在A周围已经填写完了，但仍然无法确定A是1还是2．所以只能是H填写3，限制了F只能填写1，A填写2． 剩下的5个空格中，6只能有一个相邻的9．所以填写在I或者K，如果6填写在I则两个7只能填写在G和K位置．9填写在B，5填写在J； 如果6填写K，则两个7无法填写． 另解：如果B填写5或者6则I无数字和填写，如果B填写7则6无处填写，所以B只能是9，然后两个7填不相邻的位置且不能填在I，只能G和K，从而H只能填写3，F填写1，A填写2． 所以A×B＝2×9＝18 故答案为：18 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/5 18:07:48；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第11页（共11页）