2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试）.doc

2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试） 一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分） 1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是　 　． 2．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于　 　． 3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　 　． 二、解答题（共3小题，满分0分） 4．小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？ 5．将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？ 6．15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字．问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？ 2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试） 参考答案与试题解析 一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分） 1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是　5：7　． 【分析】由甲船速度是乙船速度的两倍先设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速为y，根据甲、乙两船相向而行，相遇时距A、B两地的距离之比是3：1，可知从A到B为顺水，从B到A为逆水，就可得出第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1，即可求出x＝4y；那么甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y），再由x＝4y，即可求出相遇时距A、B的距离之比． 【解答】解：设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速为y， 第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1， 即可求出x＝4y； 第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y）， 因为x＝4y， 所以（2x﹣y）：（x+y）＝（2×4y）：（4y+y）＝7：5， 即相遇时距A、B的距离之比5：7． 故答案为：5：7． 2．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于　141　． 【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15＝225人，设有k个方阵，那么8n＝225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141． 【解答】解：设有k个方阵，那么8n＝225k+3， 当k＝1时，225+3＝228，不是8的倍数；不符合题意； 当k＝2时，225×2+3＝453，不是8的倍数，不符合题意； 当k＝3时，225×3+3＝678，不是8的倍数，不符合题意； 当k＝4时，225×4+3＝903，不是8的倍数，不符合题意； 当k＝5时，225×5+3＝1128，是1128÷8＝141； 答：k最小为5时，n最小为141． 故答案为：141． 3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　3　． 【分析】解：如图，，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3，据此解答即可． 【解答】解：如图，，连接AP、BP、CP， 根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2…①，BP2＝BF2+FP2…②， ①﹣②，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…③， 同理，可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2…④， 同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…⑤， ③+④+⑤，可得AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2， 所以（AF2+BD2+CE2）＝×（BF2+CD2+EA2）， 因此S1+S3+S5＝S2+S4+S6， 所以S4﹣S3 ＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2） ＝2+1 ＝3 故答案为：3． 二、解答题（共3小题，满分0分） 4．小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？ 【分析】因为使得每对数的和为质数，不可能把两个偶数或两个奇数分为一组，只能是一奇一偶，根据20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19来尝试分组即可． 【解答】解：显然这4对数均为1奇1偶，6只能和5或7一组． （1）6与5一组，那么7与4一组，剩下4个数有2种排法：2与3，8与9（或8与3，2与9）． （2）6与7一组，①4和3一组，剩下4个数2种排法：2与9，5与8（或2与5，8与9）； ②4和9一组，剩下4个数2种排法：2与5，8与3（或2与3，8与5）． 一共有6种排法． 5．将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？ 【分析】显然这37个数的总和是a37的倍数，所以总和37×19是a37的倍数，由此求出a37的值，对于a3，有38是a3的倍数，由此求出a3的值，解决问题． 【解答】解：这37个数的总和是a37的倍数，所以总和37×19是a37的倍数，所以a37＝19； 对于a3，a3可以整除a1+a2＝37+1＝38，所以38是a3的倍数，所以a3＝2． 6．15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字．问：这15张卡片上最多有多少个不同的汉字？ 【分析】考察1～6张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复，考察2～7张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复，…，考察10～15张卡片，至少有2个汉字重复，这样的话，至少重复了10次，15张卡片共45个汉字，至多还有35个不同的汉字． 【解答】解：根据题干分析可得：1～6张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第一张有汉字重复， 2～7张卡片，至少有2个汉字重复，不妨设第二张有汉字重复， …， 10～15张卡片，至少有2个汉字重复， 这样的话，至少重复了10次， 又因为15张卡片共45个汉字， 45﹣10＝35（个）， 答：至多有35个不同的汉字． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:51:39；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第5页（共5页）