（2017浙江衢州第19题）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）求证：△COD∽△CBE；（2）求半圆O的半径的长[来源:学#科#网Z#X#X#K]：试题解析：（1） CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°， BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又 ∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC==15， △COD∽△CBE．∴，即，解得：r=．考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.2.（2017山东德州第20题）如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.[来源:Zxxk.Com]（1）求证：DE是圆O的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.(1)如图所示，连接OE，CE AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90° D是BC的中点∴ED＝BC＝DC∴∠1=∠2 OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又 E是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．（1） A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4， ∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD， MC=MN，∴∠MCN=∠MNC， ∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆.（1）求证：是的切线；（2）若求的半径.【答案】(1)证明见解析；（2）．（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图， PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°， OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°， 四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，如图， 四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分， AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，∴DF=2，∴AD==2，∴AE=，在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，在Rt△OAE中， OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，∴R=，即⊙O的半径...
