专题四三角形、四边形综合问题探究1．(2017宜宾中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．2．(2016宜宾中考改编)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．解：(1)四边形EBGD是菱形．理由： EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB， ∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．在Rt△EBM中， ∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，∴EM＝BE＝. DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝，[来源:Zxxk.Com]MN＝DE＝2.在Rt△DNC中， ∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝，∴MC＝3，在Rt△EMC中， ∠EMC＝90°，EM＝，MC＝3，∴EC＝＝＝10. HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值为10.3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．解：(1) D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∥BC，DG＝BC. E，F分别是OB，OC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；(2) ∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°. M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝6.4．(2016宜宾中考模拟)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连结C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________；(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连结C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；(3)如图③，在图②的基础上，连结B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________．解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：过点C1，作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.由旋转性质可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，[来源:...
