§3.4基本不等式：≤(一)课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是()A.B.C.D.答案D解析方法一特殊值法．令a＝4，b＝2，则＝3，＝，＝，＝.∴最小．方法二＝，由≤≤≤，可知最小．2．已知m＝a＋(a>2)，n＝x2－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是()A．m>nB．m
n.3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤B．ab<1>0，∴>1，∴ab<1<.4．已知正数02，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0>0，∴>，∴a2＋b2>. b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－D．－3答案B解析x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥max. x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.二、填空题7．若a<1，则a＋有最______值，为________．答案大－1解析 a<1，∴a－1<0，∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．答案2解析 lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．答案3解析 x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．答案解析 x>0，∴>0，易知a>0.∴≥，∴≤x＋＋3. x>0，...
