课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形答案：B3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()A．1B.C.D.答案：D4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()A.B.C．－D．－答案：A5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于()A．2B.C.D.答案：D二、填空题6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝________.答案：167．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为________．答案：8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.答案：三、解答题9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)；(4)|a＋b|.解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×＝－3；(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34；(4)|a＋b|＝＝＝＝.10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴解得cosθ∈[，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立．11．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
