课时训练19基本不等式:√ab≤a+b2一、对基本不等式的理解及简单应用1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b≥2√abB.1a+1b>2√abC.ba+ab≥2D.a2+b2>2ab答案:C解析:因为ab>0,所以ba>0,ab>0,即ba+ab≥2√ba·ab=2,所以选C.2.设0
xy;⑤|x+y|2≥√|xy|.其中正确的是(写出序号即可).答案:②解析:当x>0时,x+1x≥2;当x<0时,x+1x≤-2,①不正确; x与1x同号,∴|x+1x|=|x|+1|x|≥2,②正确;当x,y异号时,③不正确;当x=y时,x2+y22=xy,④不正确;当x=1,y=-1时,⑤不正确.故填②.二、利用基本不等式求最值4.(2015河南郑州高二期末,8)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值为()A.14B.12C.2D.4答案:B解析: 2是2a与b的等差中项,∴2a+b=4.又 a>0,b>0,∴2ab≤(2a+b2)2=(42)2=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.∴1ab≥12.故选B.5.(2015福建厦门高二期末,8)已知a>0,b>0,若不等式2a+1b≥m2a+b恒成立,则m的最大值等于()A.7B.8C.9D.10答案:C解析: a>0,b>0,不等式2a+1b≥m2a+b恒成立,∴m≤[\(2a+b\)(2a+1b)]min. (2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab≥5+2×2√ba×ab=9,当且仅当a=b时取等号.∴m的最大值等于9.故选C.6.设x>0,则y=3-3x-1x的最值为.答案:大3-2√3解析: x>0,∴3x+1x≥2√3.∴-(3x+1x)≤-2√3.∴y=3-3x-1x≤3-2√3.∴y有最大值3-2√3,当且仅当3x=1x时,即当x=√33时等号成立.7.(2015河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,则lgx+lgy的最大值是.答案:2解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,所以lgx+lgy=lg(xy)=lg(x·4y)-lg4≤lg(x+4y2)2-lg4=lg400-lg4=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.8.设常数a>0,若9x+a2x≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为.答案:[15,+∞)解析: x>0,a>0,∴9x+a2x≥6a,当且仅当9x=a2x,即x=a3时取等号.从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a+1,∴a≥15.三、利用基本不等式解决实际问题9.(2015江西吉安联考,20)新余到吉安相距120km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当...
