课时训练18简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足{x-y+1≥0,x+y≥0,x≤0,若z=x+2y,则z的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-12x+z2,平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-12x+z2的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件{x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6B.7C.8D.23答案:B解析:画出不等式{x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=-2x3+z3在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组{x+y=3,2x-y=3,得(2,1).所以zmin=4+3=7.故选B.3.设变量x,y满足约束条件{y≥x,x+2y≤2,x≥-2,则z=x-3y的最小值为.答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x,y满足{x-y+1≤0,x>0,则yx的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:C解析:实数x,y满足{x-y+1≤0,x>0的相关区域如图中的阴影部分所示.yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,yx的取值范围为(1,+∞).5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组{2x+3y-6≤0,x+y-2≥0,y≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:√2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|√2=√2.三、求线性规划中的参数6.x,y满足约束条件{x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或1B.2或12C.2或1D.2或-1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足{x≥1,x+y≤3,y≥a\(x-3\),若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案:12解析:因为a>0,作出不等式组{x≥1,x+y≤3,y≥a\(x-3\)表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).由z=2x+y得y=-2x+z,将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=12.8.当实数x,y满足{x+2y-4≤0,x-y-1≤0,x≥1时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.答案:[1,32]解析:画出可行域,如图...
