课时跟踪检测(一)平面直角坐标系一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得．2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选C由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选B由题意，得MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，得4＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()A.B.C.D.解析：选B设则μy＝sinλx，即y＝sinλx.比较y＝3sin2x与y＝sinλx，则有＝3，λ＝2.∴μ＝，λ＝2.∴二、填空题5．y＝cosx经过伸缩变换后，曲线方程变为________．解析：由得代入y＝cosx，得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′.答案：y＝3cos6．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋＝1，则坐标变换公式是________．解析：设则代入X2＋Y2＝16得＋＝1.∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴故答案：7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．解析： △ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6＞4.∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．答案：＋＝1(y≠0)三、解答题8.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②比较①②，可得即所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．则M点的坐标为.由于|BC|＝，|AM|＝＝，故|AM|＝|BC|.10．如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b
