课时跟踪检测(三)简单曲线的极坐标方程一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示()A．直线B．射线C．圆D．半圆解析：选C∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．2．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ表示的曲线为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选B由ρ＝sinθ＋2cosθ，得ρ2＝ρsinθ＋2ρcosθ，∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．3．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是()A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆D．以点为圆心，3为半径的圆解析：选C由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，即x2＋y2－6x＝0，表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A．ρ＝2cosB．ρ＝2sinC．ρ＝2cos(θ－1)D．ρ＝2sin(θ－1)解析：选C在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．二、填空题5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．解析：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.答案：ρ＝4sinθ6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ－2sinθ，θ∈，则圆心的极坐标是________．解析：设圆心为(a，β)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－β)．因为ρ＝2cosθ－2sinθ＝4cos＝4cos＝4cos，所以此圆的圆心的极坐标为.答案：7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.解析：由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，即x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2,2)，∴|CP|＝＝2.答案：2三、解答题8．求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．解：ρ＝可化为ρ＝，即ρ＝.化简，得ρ＝2＋ρcosθ.将互化公式代入，得x2＋y2＝(2＋x)2.整理可得y2＝4(x＋1)．9．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形．解：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，∴ρ0＝ρ.∵ρ0＝2cosθ0，∴ρ＝2cosθ，即ρ＝5cosθ，它表示一个圆．10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由解得即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．则过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
