习题课(四)一、选择题1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α＝()A.B．－C．－D.答案：A解析：因为cosα＋sinα＝－，α∈(0，π)，所以sin2α＝－，cosα<0，且α∈，所以2α∈，所以cos2α＝＝.故选A.2．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝()A.B．－C．－D.答案：B解析： sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－.3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝()A.B.C.D．3答案：D解析：由于α，β均为锐角，cosα＝，则sinα＝，tanα＝.又tan(α－β)＝－，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.故选D.4．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是()A．[2,3]B.C．[1,4]D．[2,4]答案：A解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于()A.B．－C.或－D．－或答案：B解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－3，tanαtanβ＝4，∴tanα<0且tanβ<0.又 α，β∈，∴α，β∈(－，0)．tan(α＋β)＝＝＝，又知α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.6．化简的结果是()A．－cos1B．cos1C.cos1D．－cos1答案：C解析：原式＝＝＝cos1.二、填空题7．已知sin＝，则sin2x＝________.答案：－解析： sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.8．已知cos＋cos＝，且α∈，则sin＝________.答案：解析：因为cos＋cos＝，所以cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，所以＝，得sin＝.因为α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________.答案：3＋2解析： tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝. ＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，＝＝＝＝＝3＋2.三、解答题10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α、β∈，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．解：(1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1.(2)f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝.又α∈，∴cosα＝.同理f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ...
