自我小测1．若f(x)＝，则f′(－1)＝()A．0B．－C．3D．2．函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为()A．B．C．或D．或3．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k＝()A．eB．－eC．D．－4．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2015(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx5．函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝()A．－B．1C．－或1D．或16．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.7．直线y＝e2x＋b是曲线y＝ex的一条切线，则b＝__________.8．设曲线y＝xn＋1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2x1＋log2x2＋log2x3＝__________.9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．10．已知点P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．参考答案1．解析：∵f′(x)＝()′＝＝·＝，∴f′(－1)＝.答案：D2．解析：∵y′＝－，令－＝－4，得x＝±，∴P的坐标为或.答案：C3．解析：设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得＝k，又y0＝kx0，y0＝lnx0，从而联立解得y0＝1，x0＝e，k＝.答案：C4．解析：∵f0(x)＝sinx，∴f1(x)＝f′0(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝sinx，∴fn(x)的值具有周期性，且4为周期．∴f2015(x)＝f3(x)＝－cosx.答案：D5．解析：∵f′(x)＝2x，g′(x)＝，∴2x－＝1.∴2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－.又∵g(x)有意义时，x＞0，∴所求x＝1.答案：B6．解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1.∴lna＝－1.∴a＝.答案：7．解析：∵y′≤ex，设切点为(x0，y0)，则＝e2.∴x0＝2，∴y0＝e2.又y0＝e2x0＋b，∴b＝－e2x0＋y0＝－2e2＋e2＝－e2.答案：－e28．解析：曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，所以log2x1＋log2x2＋log2x3＝log2＋log2＋log2＝log2＝log2＝－2.答案：－29．解：∵s′＝()′＝＝，∴s′|t＝8＝×＝×2－1＝.∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为m/s.10．解：y′＝(x2)′＝2x，设切点M(x0，y0)，则＝2x0.又PQ的斜率为k＝＝1，切线平行于直线PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝.∴切点坐标为.∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
