第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法A级基础巩固一、选择题1．若a＞0，b＞0，则必有()A.＞2b－aB.＜2b－aC.≥2b－aD.≤2b－a解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，所以a＋≥2b，即≥2b－a.答案：C2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(＋1)B．xy≤＋1C．x＋y≤2(＋1)2D．xy≥2(＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，所以(x＋y)＋1＝xy≤.所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，解得x＋y≥2(＋1)．答案：A3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是()A.＞B.＞C．a＋＞b－D．aa＞ab解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，所以＞.答案：B4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2D．abc(a＋b＋c)≤解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项B成立．答案：B5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．如：a＝，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.答案：B二、填空题6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a＋b＞a＋b⇔(＋)(－)2＞0⇔a≥0，b≥0，且a≠b.答案：a≥0，b≥0，且a≠b7．若＜＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的不等式的序号为________．解析：因为＜＜0，所以b＜a＜0，故②③错．答案：①④8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．解析：因为a2＋b2＝c2，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，所以≤，又因为a＋b＞c，所以＞1.所以的取值范围是(1，]．答案：(1，]三、解答题9．求证：＜2－.证明：21＜25⇒＜5⇒2＜10⇒10＋2＜20⇒(＋)2＜(2)2⇒＋＜2⇒＜2－.所以原不等式成立．10．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜.证明：因为a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.所以a2＋ab＋b2＝a＋b.所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.所以a＋b＞1.要证a＋b＜，只需证3(a＋b)＜4，只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b...
