第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式A级基础巩固一、选择题1．函数y＝＋2的最大值是()A.B.C．3D．5解析：根据柯西不等式，知y＝1·＋2·≤·＝.答案：B2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为()A．4B．2C．8D．9解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号，所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值所以3a＋2b≤2.答案：B3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是()A．2B.C．6D．12解析：(＋)2＝(1·＋1·)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．答案：D4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是()A．1B.C．3D．9解析：由柯西不等式得()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，所以(＋＋)2≤3×1＝3.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为.故选B.答案：B5．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为()A．1B．2C．－1D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.答案：A二、填空题6．(2015·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．解析：因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9.令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x＞1，y＞3)，于是＋＝＋，而(＋)2＝x＋y＋2≤x＋y＋(x＋y)＝18，所以＋≤3.此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，故当a＝3.5，b＝1.5时，＋的最大值为3.答案：37．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当x＝y＝z时等号成立．答案：8．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．解析：由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝34(a＋b＋c)＋3]＝21，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故＋＋的最大值为.答案：三、解答题9．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥.(1)解：因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)＝()2＋(...
