第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.2基本不等式A级基础巩固一、选择题1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B.＋≥2C.≥2D．a2＋b2＞2ab解析：当a，b都是负数时，A不成立；当a，b一正一负时，B不成立；当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是()A.＋B.C．tanθ＋D．2x＋2－x解析：因为2x＞0，2－x＞0，所以2x＋2－x≥2＝2.当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．答案：D3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．6C．4D．18解析：3x＋3y≥2＝2＝2＝18，当且仅当x＝y＝时，等号成立．答案：D4．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为()A．6B．9C．12D．15解析：x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，选B.答案：B5．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.又a，b均大于0，所以a＋b＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．答案：C二、填空题6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．解析：y＝3－≤3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．所以ymax＝3－2.答案：3－27．已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．答案：48．当x＞0时，f(x)＝的值域是________．解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以0＜≤.所以0＜≤1.又因为f(x)＝＝，所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x＜0，求2x＋的最大值．解：由x＜0，得－x＞0，得－2x＋≥2＝2，所以2x＋≤－2，当且仅当－2x＝，即x＝－时等号成立．故2x＋取得最大值－2.10．若a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1－c)．证明：因为a＋b＋c＝1，所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0.所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)．因为a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，a＋c≥2＞0，三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2·2·2＝8abc，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．B级能力提升1．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C...
