课堂导学三点剖析一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题【例1】9192除以100的余数是多少？解析:9192=（100-9）92=10092-·10091·9+·10090·92-…-·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.9 92=（10-1）92=1092-·1091+·1090-…+·102-·10+（-1）92=1092-·1091+·1090-…+·102-920+1=（1092-·C91+·1090-…+·102-1000）+81∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.二、二项式定理的应用——近似计算问题【例2】一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5,已知D=3.11，求P(精确到100马力)解析： D=3.11P=6×(3.11)∴5=6×(3+0.11)5=6［35+·34·0.11+·33·(0.11)2+…+(0.11)5］在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.P≈6×∴［35+·34×0.11］=6×（243+44.55）=1725.3≈1700即所消耗的功率约为1700马力.温馨提示在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，（1+h）n≈1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式.三、二项式定理的应用——证明不等式【例3】证明：2≤(1+)n＜3(n∈N*)证明：当n=1时，（1+1）1=2,当n＞1时，（1+）n=1++…＞1+1+＞2，2≤(1+∴)n又(1+∴)n=1+·+·+…+·≤=2+1-＜32≤(1+∴)n＜3温馨提示证明(1+)n＜3还可以有如下的证法：(1+)n≤=＜3.在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.各个击破【类题演练1】1+3+32+…+399被4除所得的余数为____________.解析：1+3+32+…+399=［3100-1］=［(4-1)100-1］=［·4100-499+…-·41+-1］=8（·498-·497+…+·2-50）∴原式被4除所得的余数为0.【变式提升1】求证：32n+3-24n+37能被64整除.证明：32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n+…+)-24n+37=3×64(·8n-1+·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(8n-1+8n-2+…+)+64是64的倍数故原式可被64整除.【类题演练2】某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为______________（精确到0.001）.解析：100天后指数为2(1+)100=2·（1+0.002）100=2(1+0.002+×0.0022+×0.0023+…)≈2(1+0.2+0.0198+0.0012936)=2.442答案：2.442【变式提升2】一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6...
