第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为()A．3B．6C．9D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和知，所以＋＋≥＋＋＝3，所以＋＋的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4min，8min，6min，10min，5min，每台机床停产1min损失5元，经合理安排损失最少为()A．420元B．400元C．450元D．570元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是()A．M≥NB．M＝NC．M＜ND．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是()A．1B．2C．3D.解析：设a≥b≥c≥0，所以≥≥.由排序不等式可得a＋b＋c≤a＋b＋c.而(a＋b＋c)2≤(a)2＋(b)2＋(c)2](1＋1＋1)＝9，即a＋b＋c≤3.所以a＋b＋c≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana17．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________．解析：设a≥b≥c＞0，所以≥≥，由排序原理，知＋＋≥＋＋，①＋＋≥＋＋，②①＋②得＋＋≥.答案：8．设a，b，c＞0，则＋＋________a＋b＋c.解析：不妨设a≥b≥c＞0，则≤≤，bc≤ac≤ab.由顺序和≥乱序和，得＋＋≥·bc＋·ac＋·ab＝c＋a＋b，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．答案：≥三、解答题9．对a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．解：取两组数a，b，c和a2，b2，c2.不管a，b，c的大小顺序...
