第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法A级基础巩固一、选择题1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()A.B.＋C.＋D.＋＋解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C3．在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1.依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析：由条件知：a2＝a1＋2×2－1＝22，a3＝a2＋2×3－1＝32，a4＝a3＋2×4－1＝42，猜想an＝n2.答案：B4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取什么值无关D．以上答案都不对解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．答案：B5．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是()A．25B．250C．55D．133解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，操作后得到的数呈周期性变化，周期为3次，2011＝670×3＋1，故第2011次操作后得到的数是133.答案：D二、填空题6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．解析：因为n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，所以n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，又考虑到目的，最终应为2k＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－17．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.答案：2128．用数学归纳法证明“n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________，从k到k＋1时需添加的项是________．答案：1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k...
