第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝3，当且仅当xy＝x2，即x＝1时，等号成立．答案：C2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为()A．0B．1C．2D．3解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋的最小值为3.答案：D3．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgx＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．lg6，＋∞)D．3lg2，＋∞)解析：因为lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤＝23，所以lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C5．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是()A.B.C.D.解析：当logxy＝－2，得x－2＝y，即x2y＝1，且x＞0，y＞0，x＋y＝x＋x＋y≥3＝.当且仅当x＝y时等号成立．答案：A二、填空题6．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．解析：因为a，b是正数，ab2＝1，所以a＋b＝a＋＋≥3＝.故a＋b的最小值是，当且仅当即时取到最小值．答案：7．函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________．解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤＝，当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．故函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值为.答案：8．设x，y，z＞0且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值是_________．解析：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，所以x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．所以x2y3z取得最大值1.答案：1三、解答题9．θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝时取等号．所以ymax＝.10．已知a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.证明：因为a，b，c为正数，所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9.所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．B级能力提升1．若数列{an}的通项公式是an＝，则该数列中的最大项是()A．第4项B．第6项C．第7项D．第8项解析：an＝＝＝因为n2＋＋≥3＝48，当且仅当n2＝，即n＝4时，等号成立，所以an≤，该数列的最大项是第4项．答案：A2．函数y...
