1．1.3导数的几何意义考点一：利用导函数求导数1、求函数处的导数．[解析]f′(x)＝limΔx→0＝limΔx→0＝limΔx→0(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.2、已知函数，且，求.[解析]解法一：∵f′(1)＝limΔx→0＝limΔx→0＝limΔx→0＝limΔx→0[]＝limΔx→0(2a＋a·Δx)＝2a＝2.∴a＝1，即a的值为1.解法二：∵f′(x)＝limΔx→0＝limΔx→0＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，故a＝1.考点二：求曲线上某点处的切线方程1、已知曲线y＝x3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．[解析](1)∵y＝x3，∴y′＝limΔx→0＝limΔx→0＝limΔx→0＝limΔx→0(3x2＋3xΔx＋Δx2)＝x2，y′|x＝2＝22＝4.∴点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.1、求双曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程．[解析]∵y′＝limΔx→0＝limΔx→0x＝limΔx→0＝－，∴切线的斜率k＝y′|x＝＝－4.∴切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.考点三：求切点坐标1、在曲线y＝x上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.[解析]设y＝f(x)，则f′(x)＝limΔx→0＝limΔx→0＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故y0＝4，即P(2,4)．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P.2、直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x－x＋1相切．(1)求a的值；(2)求切点的坐标．[解析](1)设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为y′＝limΔx→0＝3x2－2x，则y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．当x0＝－时，y0＝3－2＋1＝，则切点坐标为，将切点坐标代入直线y＝x＋a，得a＝＋＝，故a＝.(2)由(1)知切点坐标是.
