第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案：B4．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是()A.B.＋C.＋－D.＋－－解析：当n＝k时，不等式为＋＋…＋≥.当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.比较n＝k与n＝k＋1的左边，可知应添加的项为＋－.答案：C5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12B．13C．14D．不存在解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)]max＞，所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞_______．解析：由贝努利不等式知(1＋x)n＞1＋nx.答案：1＋nx7．设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分．答案：2k8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．答案：三、解答题9．求证：1＋＋＋…＋≥.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左式＝右式．当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝＝，＞，左边＞右边．故当n＝1或n＝2时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，有1＋＋＋…＋≥.则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋≥＋＝.因为－＝＞0，所以＞＝右边．由不等式的传递性可得：左边＞右边．故当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(...
