1．3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数考点一：判断函数的单调性1、判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．[来源:学优高考网gkstk][解析] y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．2、已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．[解析]由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；若x∈，则f′(x)<0，所以f(x)在区间上是减函数．若x∈，则f′(x)>0，所以f(x)在区间上是增函数．当a<0时，若x∈，则f′(x)<0，所以f(x)在区间上是减函数．若x∈，则f′(x)>0，所以f(x)在区间上是增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.考点二：利用导数求函数的单调区间1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x＋1[解析](1)函数f(x)的定义域为Rf′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．(2)f(x)＝x＋(b＞0)(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)f′(x)＝′＝1－＝(x2－b)令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0∴x＞，或x＜－.∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0∴－＜x＜，且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．2、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x4－2x2＋3(2)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)(3)f(x)＝(－10时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当b<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．考点三：函数的单调性在不等式中的应用[来源:学优高...
