1．7定积分的简单应用考点一：不分割型平面图形面积的求解1、如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.[解析]由方程组可得x1＝0，x2＝2.故所求图形的面积为S＝2xdx－x2dx＝x2－x3＝.求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.[解析]如图，由得交点A(－2，－4)，B(1，－1)．∴围成图形(阴影部分)的面积为S＝(－x2－x＋2)dx＝＝.考点二：分割型平面图形面积的求解1、求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．[解析]解法1：画出草图，如图所示．解方程组，及，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝[－(－x)]dx＋[(2－x)－(－x)]dx＝(＋x)dx＋(2－x＋x)dx＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|＝＋＋(2x－x2)|＝＋6－×9－2＋＝.解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝－1[(2－y)－(－3y)]dy＋[(2－y)－y2]dy＝－1(2＋2y)dy＋(2－y－y2)dy＝(2y＋y2)|＋(2y－y2－y3)|＝－(－2＋1)＋2－－＝.2、求由曲线xy＝1及直线y＝x，y＝2所围成的平面图形的面积．[解析]解法1：由得或(舍)．以y为积分变量可得面积为S＝(y－)dy＝(y2－lny)|＝－ln2.解法2:由考点三：变速直线运动的路程、位移问题1、有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[解析](1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝.当t＝6时，点P的位移为(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|＝0.(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．2、将本例第(1)问中的t＝6改为t＝5，结果会怎样？[解析]当t＝5时，P点经过的位移s1和路程s2分别为：s1＝(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|＝.此时点P在x轴正方向上距原点处．s2＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝26.考点四：求变力做功1、一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．[解析]v＝＝(bt3)′＝3bt2，媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，k>0.当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝，ds＝vdt，故阻...
