1．5.3定积分的概念考点一：根据定积分的定义求定积分1、求x3dx.[解析](1)分割[0,1]：0＜＜＜…＜＜＝1.(2)近似代替：作和3·＋3·＋…＋3·.＝3·.(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)(3)取极限：3·＝3＝2＝，∴x3dx＝limn→∞＝.(此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝2)因此x3dx＝.2、利用定积分的定义求2dx的值．[解析]令f(x)＝2.(1)分割：在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a，b]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为.(2)近似代替、作和：取ξi＝a＋(i＝1,2，…，n)，则Sn＝·＝＝2(b－a)．(3)取极限：2dx＝limn→∞Sn＝limn→∞2(b－a)＝2(b－a).考点二：根据定积分的几何意义求定积分1、求－1(x3＋3x)dx.[解析]∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.2、用定积分的意义求值[解析](1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴＝××(3×3＋1)－·2＝－＝16.考点三：利用性质求定积分1、(1)计算的值（2）已知，求在区间上的定积分[解析](1)如图，考点四：利用定积分表示平面图形的面积1、利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝0，y＝，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.[解析](1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S＝(－0)dx＝dx(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S＝A1＋A2，A1由y＝，y＝－，x＝1围成；A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．∴A1＝[－(－)]dx，A2＝[－(x－2)]dx，∴S＝2dx＋(－x＋2)dx.2、画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5.(2)y＝logx，y＝0，x＝，x＝3.[解析](1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，则S＝|sinx|dx或S＝sinxdx＋(－sinx)dx＝sinxdx－πsinxdx.
