2.2.2反证法考点一：用反证法证明否定性命题1.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[分析]本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法．[解析](1)证法1：(反证法)若{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2) a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．证法2：只需证明SnSn＋2≠S， Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列．即2S2＝S1＋S3，∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．[来源:学优高考网gkstk]由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2， q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾．2.平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[证明]假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述，原结论成立.考点二：用反证法证明“至多”“至少”等类型问题1.设f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立．[证明]假设不存在x∈[－1,1]上一个x满足|f(x)|≥.则对于x∈[－1,1]上任意x，都有－1，f(x)在x∈[－1,1]上是单调递减函数，∴⇒b>－与b<－2矛盾．假设不成立，因此当b<－2时在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥成立．2.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c三个数均不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，又a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋[来源:学优高考网]＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3>0.与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立．即a，b，c至少有一个大于0.考点三：用反证法证明唯一性问题1.已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[解析]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图1，点A在平面α...
