课后提升作业十七抛物线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.0条【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.B.C.D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=0,由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程为4x+3y-=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()A.2B.4C.6D.4【解析】选D.根据题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥抛物线的准线.设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,得m=2,所以等边三角形的边长为4,其面积为4.5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2016·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为()A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x...
