课堂导学三点剖析一、正态分布的性质【例1】正态总体N（0，1）的概率密度函数是f(x)=.x∈R.(1)求证：f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值；(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性.解：（1）对于任意的x∈R，f(-x)===f(x)f(x)∴是偶函数.(2)令z=,当x=0时，z=0，ez=1,e z是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0,ez＞1,∴当x=0,即z=0时，取得最小值.∴当x=0时，f(x)=取得最大值.(3)任取x1＜0,x2＜0,且x1＜x2,有x12＞x22,∴＜-,∴＜,∴即f(x1)＜f(x2)它表明当x＜0时，f(x)是递增的.同理可得，对于任取的x1＞0,x2＞0,且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2),即当x＞0时，f(x)是递减的.二、利用正态分布的密度函数求概率【例2】设ξ服从N（0，1），求下列各式的值：（1）P（ξ＞2.35);(2)P(ξ＜-1.24);(3)P(|ξ|＜1.54).分析：因为ξ服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x)=1-Φ(x);P(a＜ξ＜b)=Φ（b)-Φ(a);和P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0)进行转化.解析：（1）P(ξ＞2.35)=1-P(ξ＜2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.9906=0.0094;(2)P(ξ＜-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.8925=0.1075;(3)P(|ξ|＜1.54)=P(-1.54＜ξ＜1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.8764.温馨提示对于标准正态分布N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率P（x1＜ξ＜x2)=φ(x2)-φ(x1)的几何意义是：介于直线x=x1和x=x2间，x轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积.三、正态分布的应用【例3】从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，16），试计算(1)若有70分钟时间可用，应走哪条线路？（2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为：P（ξ≤70)=Φ()=Φ(2)=0.9772.走第二条线路及时赶到的概率为P（ξ≤70）=Φ()=Φ(2.5)=0.9938.所以，应走第二条线路.（2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为：P(ξ≤65)=Φ()=Φ(1.5)=0.9332.走第二条线路及时赶到的概率为P（ξ≤65）=Φ()=Φ(1.25)=0.8944.所以，应走第一条线路.温馨提示正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技术...
