课堂导学三点剖析一、分类加法计数原理的简单应用【例1】某学生去书店，发现三本好书，决定至少买其中一本，则该生的购书方案有______种.解析:“至少”问题往往需要发类，在三本好书中至少买一本，可分为在类：恰买一本，有3种方种；恰买2本，有3种种方法，恰买3本，有1种方案，从而共有3+3+1=7种方法。温馨提示分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和，就是“整体”（即完成一件事的方法）分成若干个互不相交的类，使得每一类中的元素的个数易于计算.在分类过程中要按照统一的标准进行.本题中是按照购买的本数分成了三类.二、合理地选择分类标准是用好分类加法计数原理的关键【例2】将一个正三角形的各边都n等分，过各分点作其它两边的平行线，一共可产生多少个三角形(包括原来的三角形在内)?解析：如图，不妨设正△ABC的边长为n，首先考虑“头朝上”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点下方的三角形.边长为1的“头朝上”的三角形有1+2+…+n=个.边长为2的“头朝上”的三角形有1+2+…+(n-1)=个.…边长为n的“头朝上”的三角形只有1个.从而，“头朝上”的三角形共有个.然后考虑“头朝下”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点上方的三角形.边长为1的“头朝下”的三角形有1+2+…+(n-1)=个.边长为2的“头朝下”的三角形有1+2+…+（n-3）=个.边长为m的“头朝下”的三角形有=1k个(n+1＞2m).故当n为奇数时，“头朝下”的三角形有.=个；各个击破【类题演练1】在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的三点组的个数是()A.24B.36C.48D.56解析：注意到每个正方形或矩形各有4个“直角三角形三点组”，现正方体共有6个正方形侧面及6个矩形对角面，故可视为有12类方案，即12个矩形或正方形，由分类加法计数原理得4×12=48个“直角三角形三点组”.故选C.答案：C【变式提升1】在十进制数中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为()A.1001B.1010C.1011D.1013解析：设最左边的数字为n，则比n小的数字n-1,n-2,…,2,1,0每个只能在n的右边至多出现一次.可是，以n为最左边数字的递降正整数的个数等于集合{n,n-1,…,2,1,0}的非空子集合个数2n-1.但n=1,2,…,9,故递降正整数共有=(210-2)-9=1013(个).【类题演练2】设M是集合S={1,2,3,…,1999}的子集，且M中每一个正整数(元素)仅含一个0，则集合M所含元素最多有()A.243个B.324个...
