课堂10分钟达标1.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.8【解析】选C.抛物线焦点到准线的距离是p=4.2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是()A.y=2x2或y2=-4xB.y2=-4x或x2=2yC.x2=-yD.y2=-4x【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,因为抛物线过点(-1,2),所以设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).所以22=-2p(-1).所以p=2.所以抛物线的方程为y2=-4x.当抛物线的焦点在y轴上时,因为抛物线过点(-1,2),所以设抛物线的方程为x2=2py(p>0).所以(-1)2=2p·2,所以p=.所以抛物线的方程为x2=y.3.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=|AB|C.|PP1|>|AB|D.|PP1|<|AB|【解析】选B.如图所示,根据题意,PP1恰巧是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=|AB|.4.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.【解析】设抛物线上点的坐标为(x,±),此点到准线的距离为:x+,到顶点的距离为,由题意有x+=,所以x=,所以此点坐标为.答案:5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.【解析】直线y=x-,故所以x2-3px+=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案:26.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.【解析】方法一:设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F.因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,故解得所以抛物线方程为x2=-8y,m=±2,准线方程为y=2.方法二:如图所示设抛物线方程为x2=-2py(p>0),有焦点F,准线l:y=.又|MF|=5,由定义知3+=5,所以p=4.所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.由m2=-8×(-3),得m=±2.【补偿训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.【解析】由抛物线的性质知A,B关于x轴对称.设A(x,y),则B(x,-y),焦点为F.由题意知AF⊥OB,则有·=-1.所以y2=x,2px=x.所以x≠0.所以x=.所以直线AB的方程为x=.
