互动课堂重难突破一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-1，AB在AC上的射影是线段AC；BC在AC上的射影是点C；AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD，这样，Rt△ABC中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD、BD).图1-4-1二、直角三角形的射影定理由于角的关系，图1-4-1中，三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC的六条线段之间存在着比例关系.△ACDC∽△BD,有=，转化为等积式即CD2=AD·BD；△ACD∽△ABC,有=，转化为等积式即AC2=AB·AD；△BCD∽△BAC,有=，转化为等积式即BC2=BA·BD.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD＝6,AC2=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以AC＝213.我们还可以求出BC、AB，以及△ABC的面积等.图1-4-2三、刨根问底问题1在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，那么AC2+BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？探究:如图1-4-2，在RtA△BC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高.应用射影定理，可以得到AC2＋BC2＝AD·AB+BD·AB=(AD+BD)·AB=AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题2几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形,这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门吗？能举例说明吗？探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发...
