课堂10分钟达标1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为()A.3x2+3xB.3x2+3x·ln3+C.3x2+3x·ln3D.x3+3x·ln3【解析】选C.f′(x)=3x2+3xln3.2.函数y=的导数是()A.y′=-B.y′=-sinxC.y′=-D.y′=-【解析】选C.y′=′===-.3.函数f(x)=xex的导函数f′(x)=.【解析】f′(x)=ex+x·(ex)′=ex+xex=(1+x)ex.答案:(1+x)ex4.已知函数f(x)=x-4lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为.【解析】函数f(x)=x-4lnx,所以函数f′(x)=1-,切线的斜率为-3,切点为(1,1),所以切线方程为:3x+y-4=0,答案:3x+y-4=05.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为m/s.【解析】因为s′=2t-,所以当t=4时,v=8-=(m/s).答案:6.求下列各函数的导数.(1)y=xsinx+cosx.(2)y=3x2-x+5.【解题指南】本题求解时主要应用基本求导公式:(xn)′=nxn-1,(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,及求导法则:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).【解析】(1)y=xsinx+cosx,所以y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.(2)y=3x2-x+5,所以y′=6x-1.7.【能力挑战题】曲线f(x)=-(x<0)与曲线g(x)=lnx公切线(切线相同)的条数为.【解析】f(x)=-的导数为f′(x)=,g(x)=lnx的导数为g′(x)=,设公切线的切点为(x1<0),(x2,lnx2),则切线为y+=(x-x1),y-lnx2=(x-x2),两切线相同,则有消去x2,整理得+2ln(-x1)-1=0,记h(x)=+2ln(-x)-1,则h′(x)=-+=,当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(-e)=2--1>0,h=-2e-3<0,因此h(x)=0在(-∞,0)上只有一解,即方程+2ln(-x1)-1=0只有一解,因此所求公切线只有一条.答案:1
