第二十一章 一元二次方程周周测5（21.2.4）.doc

优秀领先 飞翔梦想 成人成才 第二十一章 一元二次方程周周测5 一元二次方程的根与系数的关系 　一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　） A． B． C．3 D． 3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2014 B．2013 C．2012 D．2011 4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　） A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______． 7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______． 8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为______． 9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______． 10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=______． 11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______． 12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______． 13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______． 　 三．解答题： 14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2+2x﹣3=0 （2）x2+x=6x+7． 15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2 （1）求m的取值范围； （2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值． 17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值． 18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 　 参考答案与试题解析 　一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2， ∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1， ∴x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3． 故选A． 　 2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根， 所以α+β=，αβ=﹣， 又因为（α﹣2）（β﹣2） =αβ﹣2（α+β）+4 =﹣﹣2×+4 =． 故选A 　 3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2014 B．2013 C．2012 D．2011 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根， ∴a2+a﹣2014=0， ∴a2+a=2014， ∴原式=2014+a+b， ∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根， ∴a+b=﹣1， ∴原式=2014﹣1=2013． 故选B． 　 4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确， 故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3， 那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0， 故选：B． 　 5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　） A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根 【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根， 又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1•x2==﹣＜0， 所以有一正根及一负根． 故选D． 　 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=　　，x1x2=　﹣　． 【解答】解：x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1x2=﹣． 故答案为：，﹣． 　 7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=　2　，n=　﹣24　． 【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=，（﹣3）×4= 解得：m=2，n=﹣24， 故答案为：2，﹣24． 　 8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为　﹣　． 【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根， ∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8， ∴==﹣． 故答案是：﹣． 　 9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=　10　． 【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根， ∴x22+5x2﹣3=0， ∴x22+5x2=3， ∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4， ∴2x1•x2+a=4， ∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根， ∴x1x2=﹣3， ∴2×（﹣3）+a=4， ∴a=10． 　 10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=　4　． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根， ∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0， ∴α2+3α=7， ∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4， 故答案为：4． 　 11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是　5　，k=　0　． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得0+t=5，0•t=k， 所以t=5，k=0． 故答案为5，0． 　 12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　x2﹣5x+6=0（答案不唯一）　． 【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3， ∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6， ∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0， 故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）． 　 13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是　5　． 【解答】解：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5， 根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k， 所以10﹣k=k， 解得k=5． 故答案为：5． 　 三．解答题： 14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2+2x﹣3=0 （2）x2+x=6x+7． 【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程的两根， 所以x1+x2=﹣，x1x2=﹣1； （2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0， 设x1，x2是一元二次方程的两根， 所以x1+x2=5，x1x2=﹣7． 　 15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值． 【解答】解：∵a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b， ∴a，b可看作方程x2﹣6x+4=0的两根， ∴a+b=6，ab=4， ∴原式====7． 　 16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2 （1）求m的取值范围； （2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值． 【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0； ∵原方程有两个实数根， ∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤； （2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根， ∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤； 因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1． 　17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值． 【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m≥0， 解得m≤1； （2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m， 解方程组， 解得， ∴m=x1•x2=． 18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0， ∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2， ∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+， ∴△＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3， ∴x1，x2异号， 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2， 若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2， ∴m﹣3=﹣2，即m=1， 方程化为x2+2x﹣1=0， 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2， ∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5， 方程化为x2﹣2x﹣25=0， 解得：x1=1﹣，x2=1+． 第 9 页 共 9 页