同余复习（二）（上）【考百分kao100.com】.docVIP免费

第二讲数论复习：同余与同余方程本讲概述本讲重点讨论：同余的基本性质；完全剩余系与简化剩余系；Euler函数和Euler定理例题精讲【例1】求n=的个位数。【例2】证明：若2a，n是正整数，则1(mod2n+2)。【例3】设n的十进制表示是，若792n，求x，y，z。【回顾完全剩余系、既约剩余系和欧拉函数的概念】【例4】设m>0是偶数，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系，证明：{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m的完全剩余系。【例5】设整数n2，证明：n(n)，即在数列1,2,,n中，与n互素的整数之和是n(n)。【例6】设n是正整数，则=n，此处是对n的所有正约数求和。高二·联赛班·寒假班第二讲·学生版1【例7】设nN，证明：(ⅰ)若n是奇数，则(4n)=2(n)；(ⅱ)(n)=的充要条件是n=2k，kN；(ⅲ)(n)=的充要条件是n=2k3l，k,lN；(ⅳ)若6n，则(n)；(ⅴ)若n1与n1都是素数，n>4，则(n)。【例8】设{x1,x2,,x(m)}是模m的简化剩余系，则(x1x2x(m))21(modm)。【例9】求证：对任何正整数，存在个相继的正整数，它们都不是素数的正整数幂.【例10】求一个最小的自然数n，使得它的是一个平方数，它的是一个立方数，它的是一个5次方数。大显身手1.求313159被7除的余数。2.设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),,f(m)都不能被m整除，则f(x)=0没有整数解。3.已知99，求与。4.设m是整数，4m，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}是模m的两个完全剩余系，证明：{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m的完全剩余系。高二·联赛班·寒假班第二讲·学生版25.证明：若m,nN，则(mn)=(m,n)([m,n])；6.设m>1，(a,m)=1，x1,x2,,x(m)是模m的简化剩余系，证明：。其中{x}表示x的小数部分。7.设a，b是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使得a(m)=b(n)。8.证明：对于任意给定的n个不同的素数p1,p2,…,pn，必存在连续n个整数，使得它们中的第k个数能被pk整除。高二·联赛班·寒假班第二讲·学生版3