高一数学竞赛讲义1-6讲第一讲组合计数（1）本讲概述组合数学是竞赛中最重要的一个板块，也是变化最多，最灵活，难以掌握，至今还没有一个系统体系的学科.解决竞赛中的组合数学问题，往往不需要太多专门的知识，而是要求深刻的洞察能力和强大的化归、转化能力.所谓“得组合者得天下”，在联赛一二试乃至冬令营、集训队、IMO中，最后的胜者往往是成功完成组合问题的同学.因此，学习组合数学对于竞赛获奖以及数学能力的培养都有着十分重要的意义.从本讲开始，我们将用七讲来对组合数学做一个大致的勾勒.通过这七讲的学习，达到以下目的：1、掌握联赛一二试组合问题的特点与解法；2、对组合数学这门学科有一个初步的认识，为进一步学习打下基础；3、了解部分冬令营级别组合问题的难度与解题模式.七讲内容分别为：一、组合计数（1）比高考略难的基本计数问题二、组合计数（2）需要较多技巧的专门计数问题三、组合恒等式较为重要和有趣味的组合恒等式四、抽屉原理与存在性问题五、容斥原理与极端性原理六、染色问题与操作问题七、组合数学综合问题本讲中，假定各位同学已经大致学完了高考难度的排列组合模块内容，对加法原理、乘法原理等有一定的理解并能完成相关的问题.教师备注：本讲可与下一讲打通讲述，也可本讲专门讲常规的枚举、基本的组合问题，下一讲专门讲述一些较为高级的技巧.首先给出一些相关的基本知识：1、加法原理与乘法原理加法原理：完成一件事的方法可分成n个互不相交的类，在第1类到第n类分别有种方法，则总共完成这件事有种方法.应用加法原理的关键在于通过适当的分类，使得每一类都相对易于计数.乘法原理：完成一件事的方法有n个步骤，，在第1步到第n步分别有种方法，则总共完成这件事有种方法.应用乘法原理的关键在于通过适当的分步，使得每一步都相对易于计数.由上可见，加法原理与乘法原理也是化归思想的应用，通过这两个原理以及它们的组合，可以将一个复杂的组合计数问题分解成若干个便于计数的小问题.2、无重排列与组合阶乘：定义，读作n的阶乘无重排列：从n个不同元素中任取m个不同元素排成一列，不同的排列种数称为排列数，记为（部高一·联赛班·寒假第1讲·教师版1分书中记为），由乘法原理得到无重组合：从n个不同元素中任取m个元素并为一组，不同的组合种数称为组合数，记为，其公式为3、可重排列与组合（仅给出结论，请自证之）可重排列：从n个不同元素中可重复地任取m个元素排成一列，不同的排列种数有种；有限个重复...
