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广东省
东莞市
2023
届高三上
学期
期末
数学试题
答案
2022―2023学年度第一学期教学质量检查
高三数学
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.己知复数z满足:(i为虚数单位),则( )
A. B.1 C. D.2
3.已知向量,,,则等于( )
A.3 B.4 C.15 D.21
4.如图,某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道(图中虚线)与两条直道(图中实线)平滑连续(相切),已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A. B. C. D.
5.已知F为抛物线的焦点,P为抛物线上任意一点,O为坐标原点,若,则( )
A. B.3 C. D.
6.甲,乙,丙,丁四人在足球训练中进行传球训练,从甲开始转球,甲等可能地把球传给乙,丙,丁中的任何一个人,以此类推,则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为( )
A. B. C. D.
7.己知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6,下底半径为1,高为,若将一个铁球放入该容器中,使得铁球完全没入水中,则可放入的铁球的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数a,b满足,则下列选项中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9.已知二项式,则下列结论正确的是( )
A.该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等
B.该二项展开式中不含有理项
C.该二项展开式中的常数项是1
D.该二项展开式中含x的项系数是
10.已知满足,且在上单调递增,则可以是( )
A. B.
C. D.
11.已知正方体,E,F,G分别为,,的中点,则下列结论正确的是( )
A.直线与直线垂直 B.直线与平面平行
C.平面与平面垂直 D.点C和点到平面的距离相等
12.已知直线l:与椭圆交于A,B两点,点F为椭圆的右焦点,则下列结论正确的是( )
A.当时,存在使得
B.当时,的最小值为2
C.当时,存在使得
D.当时,的最小值为2
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.已知函数是奇函数,则___________.
14.设的导函数为,若关于对称,则___________.
15.已知点P为直线上一动点,过点P作圆的切线,切点分别为A、B,且,则动点P的轨迹的长度为____________.
16.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”.如图,某三角垛最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,每个球的半径相等,且相邻的球都外切,记由球心A,B,C,D构成的四面体的体积为,记能将该三角垛完全放入的四面体的体积为,则的最大值为___________.
四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效,
17.(本小题满分10分)
已知数列的前n项和为,且对于任意的都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项中的最大值为,最小值为,令,求数列的前20项和.
18.(本小题满分12分)
已知在锐角中,M是的中点,且,.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
19.(本小题满分12分)
如图,为半球M的直径,C为上一点,P为半球面上一点,且.
(1)证明:;
(2)若,,求直线与平面所成的角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
现有一种射击训练,每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹,每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立.已知射击训练有A,B两种型号的炮弹,对于A型号炮弹,每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6,击中两弹目标飞行物必坠段;对子B型号炮弹,每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q(),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4,击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8,击中三弹目标飞行物必坠毁.
(1)在一次训练中,使用B型号炮弹,求q满足什么条件时,才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936;
(2)若,试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大?并说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知,为双曲线E:(,)的左右焦点,点在双曲线E上,O为坐标原点.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切,分别过点,作直线l的垂线,垂足为P,Q,求面积最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设函数,若对任意的,恒成立(,分别是,的导函数),求实数a的取值范围.
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