113EquationChapter3Section14.1美国人口增长问题研究4.1.1问题重述认识人口数量的变化过程，建立数学模型描述人口发展规律，做出较为准确的增长预测，是制定积极、稳妥的人口政策的前提。请使用下表的美国人口统计数据进行参数估计，并作模型检验和增长预测。年份17901800181018201830184018501860人口/百万3.95.37.29.612.917.123.231.4增长率/10年0.29490.31130.29860.29690.29070.31020.30820.2452年份18701880189019001910192019301940人口/百万38.650.262.97692105.7122.8131.7增长率/10年0.24350.2420.20510.19140.16140.14570.10590.1059年份1950196019701980199020002010人口/百万150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7增长率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.13494.1.2符号规定与基本假设1.符号规定1.表示人口增长率2.表示人口数量3.表示人口容量2.基本假设1)假设人口增长符合生长规律；2)不考虑战争等非射幸因素；3)不考虑突发事故所引起的人口数量变化；4.1.3模型分析与建立考察一个国家或者地区的人口数量随着时间延续而发生变化的规律时，可以将人口看作连续时间的延续可微函数。记初始时刻的人口为。假设单位时间人口增长率为常数，即可得到满足人口增长的微分方程和初始条件为：212\*MERGEFORMAT(.)易得：313\*MERGEFORMAT(.)若，人口将按指数规律无限增长。根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。对式12中的参数进行估计主要有以下两种方法。方法一：直接使用人口数据和线性最小二乘法，对13式取对数可得：414\*MERGEFORMAT(.)由本题所给表格，通过MATLAB软件可计算得出，年，。方法二：先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为的估计；直接取原始数据。数值微分的中点公式如下：假设函数在分点(等间距)的离散值为，那么函数在各个分点的导数近似值为515\*MERGEFORMAT(.)616\*MERGEFORMAT(.)根据式16可以计算出美国人口1790年至2000年的增长率，为0.2052年/10年，令人口数量初值，即可预测算出人口数量。方法三：将指数增长模型进行改进，原先的模型12式改写为717\*MERGEFORMAT(.)易得818\*MERGEFORMAT(.)根据美国人口增长率数据可得，令人口数量初值取3.90即，拟合结果如图4.1所示。Logistic方法一：（非常重要的预测方法，需要重点掌握！！！）随着人口数量的增长，资源和环境对其增长起到了阻滞作用。即增长率随着人口数量的增加而下降，用。为了赋予增长函数中系数的实际意义，引入以下两个参...
