学科网（北京）股份有限公司成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（理）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCADCDACBACB二、填空题13.;14.;15.;16..三、解答题17．解：（1），又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.．．．．．．．．．．．．．5分（2）满足上式..．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）因为平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，所以．因为，，，所以，故．又，所以平面．因为平面，所以，平面平面．(6分)（2）在线段上取点，使，则，因为平面平面，学科网（北京）股份有限公司且平面平面，平面，所以平面．所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中轴．则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则即令得，，所以平面的一个法向量为．(9分)设平面的法向量为，则即令得，，所以平面的一个法向量为．，(11分)所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．(12分)19．解：（1）由，得，设中位数为，由，解得，由频率分布直方图可知众数为65.．．．．．3分（2）从这1000人问卷调查得到的平均值为因为由于得分服从正态分布，所以.．．．．．．．．．．．．7分ABCDEOxyz学科网（北京）股份有限公司（3）设得分不低于分的概率为，则，的取值为10，20，30，40，，，，，所以的分布列为：所以.．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）依题意得，则，.于是，从而.又，解得所以椭圆的方程为.．．．．．．．．．．．．．3分（2）如图，设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，由，故，由椭圆对称性，，且四边形为平行四边形.．．．．．．．．．．．．．5分由题意直线的斜率不为0，设直线：，由，消去整理得，设，，则，，学科网（北京）股份有限公司由（*）带入上式，解得：故，故的斜率为1.．．．．．．．．．．．．．8分由，消去整理得，由得.所以，与间的距离（即点到的距离），故，令，则，所以四边形的面积的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）考虑函数，易知在上单调递增，且，．因此有且只有使得，即的图象与直线有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为．…………3分（2）．设是的图象上一点，则该点处的切线为，整理得．令，解得或．因此与与函数的图象相切．因此所求实数的值为或．…………7分学科网（北京）股份有限公司（3）设，则．设，则．当时，；当时，．因此在上单调递增，在上单调递减．从而在上单调递增，上单调递减．注意到，故当时，当时，因此在...
