2019年江苏镇江中考数学试题（解析版）【jiaoyupan.com教育盘】.doc

{来源}2019年镇江中考数学 {适用范围：3．九年级} 2019年江苏省镇江市中考数学试题 时间：120分钟 满分：120分 {题型:2-填空题}一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分） {题目}1．（2019年镇江）－2019的相反数是 ． {答案}2019 {解析}本题考查了相反数的定义，根据“符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数”，可知－2019的相反数是2019，因此本题答案为2019． {分值}2 {章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2．（2019年镇江）27的立方根是 ． {答案}3 {解析}本题考查了立方根的定义与求法，∵33＝27，∴27的立方根为3，即＝3，因此本题答案为3． {分值}2 {章节:[1-6-2]立方根} {考点:立方根} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}3．（2019年镇江）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝ ． {答案}5 {解析}本题考查了众数的概念，根据一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，可知“数据4，3，x，1，5的众数是5”，则这组数据中必有两个5，故x＝5，因此本题答案为5． {分值}2 {章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:众数} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4．（2019年镇江）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． {答案}x≥4 {解析}本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，只要其被开方数为非负数，那么它就有意义，由x－4≥0，得x≥4，因此本题答案为x≥4． {分值}2 {章节:[1-16-1]二次根式} {考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:1-最简单} {题目}5．（2019年镇江）氢原子的半径约为0.000 000 000 05m，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 ． {答案}5×10－11 {解析}本题考查了科学记数法，0.000 000 000 05是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成（1≤＜10，n＞0 ）的形式，关键是确定－n．确定了n的值，－n的值就确定了，确定方法是：n的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．易知a＝5，n＝－11，故0.000 000 000 05＝5×10－11，因此本题答案为5×10－11． {分值}2 {章节:[1-1-5-2]科学计数法} {考点:将一个绝对值较小的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}6．（2019年镇江）已知点A(－2，y1)、B(－1，y2)都在反比例函数y＝－的图像上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”） {答案}＜ {解析}本题考查了反比例函数的性质，根据“反比例函数y＝在x＜0且k＜0时，y随x的增大而增大”，由－2＜－1，得y1＜y2，因此本题答案为＜． {分值}2 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}7．（2019年镇江）计算：＝ ． {答案} {解析}本题考查了二次根式的加减运算，解答时应先化简二次根式，然后合并同类二次根，因为＝2－＝，因此本题答案为． {分值}2 {章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:二次根式的加减法} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}8．（2019年镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝ °． 第8题图 {答案}40 {解析}本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键． ∵△BCD是等边三角形， ∴∠B＝∠BCD＝60°． ∵∠A＝20°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°． ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°． ∵a∥b， ∴∠1＝∠ACD＝40°． 因此本题答案为40． {分值}2 {章节:[1-5-3]平行线的性质} {章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {章节:[1-13-2-2]等边三角形} {考点:两直线平行内错角相等} {考点:三角形内角和定理} 考点:等边三角形的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}9．（2019年镇江）若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于 ． {答案}1 {解析}本题考查了一元二次方程的根判别式定理，由原方程有两个相等的实数根，得△＝(－2)2－4×1×m＝0，解得m＝1，因此本题答案为1． {分值}2 {章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}10．（2019年镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝ ．（结果保留根号） 第10题图 {答案}－1 {解析}本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°，得∠CFE＝∠ECF＝45°，而在Rt△CEF中，由勾股定理，得CF＝，从而DF＝－1，易知△DHF是等腰直角三角形，于是DH＝DF＝－1．因此本题答案为－1． {分值}2 {章节:[1-23-1]图形的旋转} {章节:[1-18-2-3] 正方形} {章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {章节:[1-17-1]勾股定理} {考点:等腰直角三角形} {考点:勾股定理} {考点:正方形的性质} {考点:旋转的性质} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度} {题目}11．（2019年镇江）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”概率是，则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 °． 第11题图 {答案}80 {解析}本题考查了二步事件的概率，由于第一个转盘落在1的概率为，而两个转盘都落在1的概率是，∴转盘2落在1的概率为÷＝，∴转盘2中数字1所在的圆心角＝×360°＝80°，因此本题答案为80． {分值}2 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:几何概率} {类别:高度原创} {类别:易错题} {难度:4-较高难度} {题目}12．（2019年镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是 ． {答案} {解析}本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值． ∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1， ∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2． ∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点， ∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，当a＞0时，x＝－2±． ∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)． ∴AB＝2． ∵线段AB的长不大于4， ∴2≤4． ∴a≥． ∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋， ∴当a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝． 因此本题答案为． {分值}2 {章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质} {考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质} {考点:抛物线与不等式（组）} {考点:其他二次函数综合题} {类别:高度原创} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:5-高难度} {题型:1-选择题}二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，满分15分） {题目}13．（2019年镇江）下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．a7÷a3＝a4 C．(a3)5＝a8 D．(ab)2＝ab2 {答案}B {解析}本题考查了幂的运算性质，∵a2•a3＝a2＋3＝a5，a7÷a3＝a7－3＝a4，(a3)5＝a3×5＝a15，(ab)2＝a2b2 ，∴只有选项B正确，因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:同底数幂的乘法} {考点:同底数幂的除法} {考点:幂的乘方} {考点:积的乘方} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}14．（2019年镇江）一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） 第14题图 A． B． C． D． {答案}D {解析}本题考查了几何体的三视图，因为从上面看，有3个小正方形，且这3个小正方形排成一行，因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-29-2]三视图} {考点:简单几何体的三视图} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}15．（2019年镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，弧DC＝弧CB．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（ ） A．55° B．60° C．65° D．70° 第15题图 {答案}A {解析}本题考查了圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦弧关系定理、等腰三角形的性质，解题的关键是充分利用圆的性质及转化思想． 如答图，连接BD． 第15题答图 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵四边形ABCD是半圆的内接四边形， ∴∠C＋∠A＝180°． ∵∠C＝110°， ∴∠A＝70°． ∴∠DAB＝20°． ∵弧DC＝弧CB， ∴DC＝CB． ∴∠CBD＝∠CDB＝＝35°． ∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝20°＋35°＝55°． ∴本题选A． {分值}3 {章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:圆周角定理} {考点:直径所对的圆周角} {考点:圆内接四边形的性质} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度} {题目}16．（2019年镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（ ） A． B． C． D． {答案}B {解析}本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组的解集在数轴上的表示，解题的关键是先解每一个不等式，根据选项，知不等式组的解集是“大小小大取中间”，由此锁定答案． 由x＋2＞a，得x＞a－2； 由(2a－1)x－6＜0，得x＜（此时a＞），从而原不等式组的解集为a－2＜x＜． ∵a＞， ∴a－2＞－． 当a－2＝0时，a＝2，此时＝2； 当a－2＝2时，a＝4，此时＝； 综上，排除了A、D、C三个选项，只有选项B正确．因此本题选B． {分值}3 {章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {考点:在数轴上表示不等式的解集} {考点:解一元一次方程（简便运算）} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:易错题} {难度:4-较高难度} {题目}17．（2019年镇江）如图菱形ABCD的顶点B、C在x轴（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E(－2，0)为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当F(0，6)到EP所在的直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（ ） A． B． C． D．3 第17题图 {答案}A {解析}本题考查了菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质等．当F到PE的距离为最大时，P为AB的中点，则此时EF⊥PE，如答图，连接AC交BD于G，则BG⊥CG，BG＝． 第17题答图 ∵OE＝2，OF＝6， ∴EF＝． ∵P、E分别为AB、BC的中点， ∴PE∥AC． ∴EF∥BG，CG⊥EF，易证△CGB∽FOE． ∴，即，解得BC＝． 因此本题选A． {分值}3 {章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:菱形的性质} {考点:相似三角形的性质} {考点:勾股定理} {考点:三角形的中线} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {难度:5-高难度} {题型:4-解答题}三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． {题目}18．（2019年镇江）（1）计算： －2cos60°；（2）化简：． {解析}本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解答题的关键是掌握零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值以及分式混合运算的法则．（1）先求出零次幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的值，然后做加减运算；（2）先做括号内的分式加减，再把分式的除法转化为分式的乘法，约分后化成最简分式． {答案}解：（1）原式＝1＋3－2×＝1＋3－1＝3． （2）原式＝＝＝x＋1． {分值}8 {章节:[1-6-3]实数} {章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:简单的实数运算} {考点:分式的混合运算} {题目}19．（2019年镇江）（1）解方程：；（2）解不等式：4(x－1)－＜x． {解析}本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，解题的关键是把分式方程转化为整式方程，以及利用不等式的性质进行计算．（1）把方程两边同时乘以(x－2)，转化为整式方程后，解这个整式方程，验根后确定方程的解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，再化系数为1． {答案}解：（1）方程两边同乘以(x－2)，得 2x＝3＋x－2， 解得x＝1． 检验：当x＝1时，x－2≠0． ∴原方程的解为x＝1． （2）去分母，得8(x－1)－1＜2x， 去括号，得8x－8－1＜2x， 移项，得8x－2x＜8＋1， 合并同类项，得6x＜9， 系数化为1，得x＜． ∴原不等式的解集为x＜． {分值}10 {章节:[1-15-3]分式方程} {章节:[1-9-2]一元一次不等式} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:解含两个分式的分式方程} {考点:分式方程的检验} {考点:解一元一次不等式} {题目}20．（2019年镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由． 第20题图 {解析}本题考查了三角形的全等的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的判定和性质．（1）利用角角边进行证明；（2）连接CG、AC、AH，通过证明四边形AHCG为平行四边形来证明AC、HG互相平分． {答案}解：（1）∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CFE． ∴∠AEG＝∠CFH． ∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴∠AGE＝∠CHF＝90°． 又∵AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（AAS）． （2）线段GH与AC互相平分，理由如下：如答图，连接CG、AC、AH． 第20题答图 ∵△AGE≌△CHF， ∴AG＝CH． ∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴AG∥CH． ∴四边形AHCG是平行四边形． ∴AC、HG互相平分． {分值}6 {章节:[1-5-3]平行线的性质} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形} {考点:平行四边形对角线的性质} {题目}21．（2019年镇江）小丽和小明在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率． {解析}本题考查了概率的计算，解题的关键是用画树状图或列表格的方法所有的等可能事件．先用画树状图或列表格的方法列出所有的等可能事件，然后找出我们关注的事件的结果，再利用概率公式进行计算． {答案}解：现画树状图如下： 第21题答图 由图可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，故P(小丽和小明在同一天值日)＝＝． {分值}6 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:两步事件不放回} {题目}22．（2019年镇江）（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC的延长线的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD的长为半径的圆过点B． （1）求证：直线AB与⊙O相切； （2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BOD＝________． 第22题图 {解析}本题考查了圆的切线的证明和三角函数的计算，解题的关键是掌握切线的判定方法及构造直角三角形． （1）连接OB，利用等腰三角形和三角形内角和证明∠ABO＝90°即可；（2）先由勾股定理，求出OA的长，然后求出OC的长，最后在Rt△OCD中，利用正切定义进行计算即可． {答案}解：（1）如答图，连接OB． ∵OD⊥AO， ∴∠DOC＝90°． ∴∠D＋∠DCO＝90°． ∵OB＝OD，AB＝AC， ∴∠OBD＝∠D，∠ABC＝∠ACB． 又∵∠DCO＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠DCO． ∴∠OBD＋∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°． 又∵点B在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线． 第22题答图 （2）∵AB＝5，⊙O的半径为12， ∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝＝13． ∴OC＝OA－AC＝13－5＝8． ∴在Rt△OCD中，tan∠BDO＝． {分值}6 {章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:切线的判定} {考点:正切} {考点:勾股定理} {题目}23．（2019年镇江）（6分）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝（m＞0，x＞0）图像上的两点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4． （1）S△OAB＝________，m＝________； （2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标． 第23题图 {解析}本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．（1）先求出B点纵坐标和A点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值；（2）先由点A在双曲线上，求出A点坐标；再先求出直线AB的解析式；连接DP，通过条件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得PD∥AB，于是可令直线PD的解析式为y＝x＋t，则0＝×6＋t，求出PD的解析式；最后由解得，．从而锁定D点的坐标． {答案}解：（1）∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B， ∴B(0，3)，OB＝3． ∵点A(2，n)， ∴＝2． ∴S△AOB＝•OB•＝×3×2＝3． ∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4， ∴S△DOE＝4． ∵DE⊥x轴，且点D在双曲线y＝上， ∴＝4． ∵m＞0， ∴m＝8． （2）如答图，连接PD， 第23题答图 ∵点A(2，n)在双曲线y＝上， ∴2n＝8，n＝4，A(2，4)． ∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B， ∴4＝2k＋3． ∴k＝，直线AB的解析式为y＝x＋3． ∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°， ∴∠DPE＝∠BCO． ∴PD∥AB． ∴令直线PD的解析式为y＝x＋t，则0＝×6＋t． ∴t＝－3，直线PD的解析式为y＝x－3． 由解得，． ∵点D在第一象限， ∴D(8，1)． {分值}6 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:4-较高难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:高度原创} {类别:易错题} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:反比例函数的几何意义} {题目}24．（2019年镇江）（6分）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）． （1）∠ABC＝__________°； （2）求正五边形GHMNC的边长GC的长． 参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4. 7． 图1 图2 第24题图 {解析}本题考查了正多边形的计算，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．（1）利用正多边形内角和以及角的大小关系可求出∠ABC的度数；（2）过点C作CP⊥AB，垂足为P，通过解直角三角形，可求出CG的长． {答案}解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形， ∴∠BAF＝＝108°＝∠BAC＋∠ABC． ∴∠ABC＝108°－∠BAC＝108°－78°＝30°． （2）如答图，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则由∠B＝30°，得BC＝2PC． 第24题答图 在Rt△APC中，sinA＝， ∴PC＝ACsinA＝10sin78°＝10×0.98＝9.8． ∴BC＝2BC＝2×9.8＝19.6． ∴GC＝BC－BG＝BC－AC＝19.6－10＝9.6． ∴正五边形GHMNC的边长GC的长为9.6． {分值}6 {章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:高度原创} {类别:常考题} {考点:正多边形和圆} {考点:解直角三角形} {考点:多边形的内角和} {题目}25．（2019年镇江）（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）． 第25题图 已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是_________； （2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？ {解析}本题考查了条形统计图以及中位数等概念，解题的关键是读出图中相关联的数据并列方程组来解决问题． （1）6理由：九（2）班一共有48人，而得6分的有27人，所以它的中位数是6．（2）先求出总人数，然后列方程组，解方程组即可解决问题． {答案}解：（1）6； （2）设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数分别为x人和y人， 由图可知x＋y＝(22＋27)×50%－(8＋6＋12＋49)＝23． 又由九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，得x＋3y＋6×22＝3.78×50． 由，解得． ∴九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数分别为6人和17人． {分值}6 {章节:[1-10-2]直方图} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:统计的应用问题} {考点:中位数} {考点:二元一次方程组的应用} {题目}26．（2019年镇江）（6分）【材料阅读】 地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圆（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地面垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】 观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在的子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON． （1）求∠POB的度数； （2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的弧AB的长．（π取3.1） 图1 图2 第26题图 {解析}本题考查圆的切线的性质以及弧长计算，解题的关键是连接过切点的半径．（1）连接过切点的半径，把弦切角转化为圆心角，然后利用平行线的性质以及角的大小关系可求出∠POB的度数；（2）利用弧长公式进行计算． {答案}解：（1）如答图，过点H作HC⊥BC于点C，则∠HBC＝∠CHD＝67°． 第26题答图 ∵BH∥ON， ∴∠HBC＝∠ONB＝67°． ∵BC切⊙O于点B， ∴∠OBN＝90°． ∴∠BON＋∠ONB＝90°． ∵PQ⊥ON， ∴∠BON＋∠POB＝90°． ∴∠POB＝∠ONB＝67°． （2）由（1）易知∠POA＝31°，∠POB＝67°，从而∠AOB＝36°． ∵R＝OA＝OP＝6400km，n＝36， ∴弧AB的长为＝3968（km）． ∴这两个观测点之间的距离约为3968km． {分值}6 {章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {难度:4-较高难度} } {类别:思想方法} {类别:数学文化} {类别:高度原创} {类别:常考题} {类别:易错题} {类别:新定义} {考点:切线的性质} {考点:弧长的计算} {题目}27．（2019年镇江）（10分）如图，二次函数y＝－x2＋4x＋5图像的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是__________； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n＝时，求DP的长； ②若对于每一个确定的n的值，有且只且个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围___________． 第27题图 {解析}本题考查了二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学知识的能力． （1）把二次函数的一般式配成顶点式即可得D点的坐标；（2）①先求出直线DB的解析式，然后通过解方程组求出B点的坐标，然后根据相似三角形的性质和线段的大小关系求出DP的长． {答案}解：（1）∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x＋4－4)＋5＝－(x－2)2＋9， ∴D(2，9)． （2）∵一次函数y＝x＋1的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B， ∴点A(－，0)关于直线l（x＝2）的对称点(，0)在直线DB上． 令DB的解析式为y＝kx＋b，则，解得，于是DB：y＝－2x＋13． 由，解得，故B(5，3)，从而DB＝，DA＝． ①如答图1，在y＝x＋1中，当x＝2时，y＝，从而C(2，)，N(2，)， ∴DN＝9－＝，DC＝9－＝，＝． 若△DPQ∽△DAB，则△DPN与△DAC，于是，DP＝DA＝； 若△DPQ∽△DBA，则△DPN与△DBC，于是，DP＝DB＝． 综上，符合条件的DP的长为或． 第27题答图1 第27题答图2 ②，理由如下：如答图2，当△DPQ∽△DBA，且Q点与B点重合时，PB与直线l的交点N，在此时的线段CN（不包括端点）上任意一点都满足条件，通过过点B作答图1中第二种情况下的PQ的平行线，易求出此时的PB的解析式为y＝－x＋5，且当x＝2时，y＝，从而N(2，)，于是，若对于每一个确定的n的值，有且只且个△DPQ与△DAB相似， n的取值范围是． {分值}10 {章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {考点:二次函数中讨论相似} {考点:代数综合} {考点:几何综合} {题目}28．（2019年镇江）（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度． 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）． ①a＝______； ②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图2中补全函数图像． 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是__________．（直接写出结果） 图1 图2 第28题图 {解析}．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握两个机器人相遇的情形． 【观察】①②画出两个行程的示意图，利用速度与路程，时间之间的关系进行计算； 【发现】①根据x和y之间的关系可求出a的值； ②先分别求出第一次相遇和第二次相遇时两人的路程之和，并求出对应的函数解析式，然后画出图形； 【拓展】根据题意进行计算并分类讨论可得x的取值范围． {答案}解：【观察】90，120； 【发现】①a＝50； ②设机器人甲的速度为v1，走的总路程为s1；机器人乙的速度为v2，走的总路程为s2；它们行走的时间为t． 由题意得v1＜v2， ∴v1t＜v2t． ∴s1＜s2． ∵这两个机器人第一次迎面相遇时，路程和为150， ∴相遇地点与点A之间的距离＝s1，即s1＝x． 又∵s1＋s2＝150，s1＜150－s1， ∴s1＜75． ∴0＜x＜75． ∵两个机器人第二次迎面相遇时，路程和为450， ∴s1＝3x． ∴当3x＝150，即x＝50时，两个机器人在B点相遇． 当0＜x≤50时，y＝s1，即y＝3x；当50＜x＜75时，y＝300－s1，即y＝300－3x． 故补图如下： 第28题答图 【拓展】0＜x≤12，48≤x≤72． {分值}11 {章节:[1-19-2-2]一次函数} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {类别:易错题} {考点:分段函数的应用} {考点:一次函数与行程问题} {考点:代数综合} 21 / 21