优秀领先飞翔梦想成人成才微专题：特殊平行四边形中的最值问题类型一根据垂线段最短求最值1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AB，BC上，且BE＝BF，射线EO，FO分别交边CD，AD于点G，H.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．类型二根据“对称性＋两点之间线段最短或垂线段最短”求最值2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第2题图第3题图第4题图3．(2017·秦皇岛抚宁县校级期末)如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，点D的坐标为(2，0)，E为AB上的动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为________．类型三根据与已知量相关联的量的最值进行转化5．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E在AB上运动，点F在BC上运动(E，F两点可以和菱形的顶点重合)，且EF＝4，点N是线段EF的中点，ME⊥AC，垂足为M，求MN的最小值【提示：通过构造中位线进行转化，即延长EM交AD于点K，连接FK】．www.youyi100.com第1页共4页优秀领先飞翔梦想成人成才类型四根据三边关系求最大值方法点拨：寻找两条定值线段，当这两条定值线段在一条直线上时所求线段最大，一般需要构造直角三角形斜边上的中线或中位线．6．如图，矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12，以BC为斜边作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最大值为________【提示：取BC的中点G，连接GE，GF，BD，当G，E，F共线时，EF最长】．www.youyi100.com第2页共4页优秀领先飞翔梦想成人成才参考答案与解析1．(1)证明： 四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAO＝∠DCO.又 ∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG(ASA)，∴OE＝OG，同理得OH＝OF，∴四边形EFGH是平行四边形． BE＝BF，∠ABD＝∠CBD，OB＝OB，∴△EBO≌△FBO，∴OE＝OF，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．(2)解： 垂线段最短，∴当OE⊥AB时，OE最小． EG＝2OE，∴OE最小时，EG最小． OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，∴AB2＝OA2＋OB2＝25，∴AB＝5，∴OA·OB＝AB·OE，即3×4＝5·OE，解得OE＝. EG＝2OE，∴EG＝.故EG的最小值是.2.解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE，当点D，P，E三点共线的时，DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，DE即为所求．当DE⊥AB时，DE最...
