1_2.2基本不等式及不等式的应用.pptx

高考数学,专题二不等式2.2基本不等式及不等式的应用,考点一基本不等式及其应用1.基本不等式,其中为正数a,b的算术平均数,为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,2.几个重要不等式1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.2)a+b2(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.3)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.4)a+2(a0),当且仅当a=1时取等号;a+-2(a0),当且仅当a=-1时取等号.注意:运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.另外,等号成立仅用来验证最值是否能取到,不能用来求值.,3.一个重要的不等式链条:(a0,b0)上述链条中的任意两个中有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:a2+b22ab,+2(ab0)等,所以利用基本不等式及其变式求最值(或证明不等式)既方便又具有很强的技巧性.,考点二应用基本不等式求解最值已知x0,y0,1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2(简记:积定和最小).2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值(简记:和定积最大).注意:1.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指必须满足等号成立的条件.2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立.,考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略1.恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)A成立f(x)maxA(xD);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D;不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.,4.双变量的恒成立与存在性问题1)若x1I1、x2I2,f(x1)()g(x2)恒成立,则f(x)min()g(x)max.2)若x1I1,x2I2,使得f(x1)()g(x2),则f(x)min()g(x)min.3)若x1I1,x2I2,使得f(x1)()g(x2),则f(x)max()g(x)max.4)若x1I1,x2I2,使得f(x1)()g(x2),则f(x)max()g(x)min.5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若x1I1,x2I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则AB.,例1若对任意x0,a恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.,解析对任意x0,有=,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,即的最大值为由对任意x0,a恒成立,a,即a的取值范围是.故选B.,答案B,例2(2021江苏苏州新草桥中学月考,13)已知函数f(x)=,设b0,若存在x,使f(x)1,则b的取值范围是.,解析若存在x,使f(x)1,f(x)=,则1,由b0得bx-x2,即b,x-x2=-+,x,x=时,(x-x2)max=,则b.故0b.,答案0b,例3已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,若对任意x1,2,都有f(x)g(x),则实数m的取值范围是.,解析对任意的x1,2,都有f(x)g(x),转化为m-x2,则m,令h(x)=-x2,易证h(x)在x1,2上为减函数,故h(x)max=h(1)=-,故m.,答案,例4已知f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2,存在x2-1,2,使得g(x1)=f(x2),则a的取值范围是.,解析由x-1,2,f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0)可得f(x)的值域为-1,3,g(x)的值域是-a+2,2a+2.对任意的x1-1,2,存在x2-1,2,使得g(x1)=f(x2),则f(x)的值域包含g(x)的值域,即-a+2,2a+2-1,3,则-1-a+22a+23,解得0a,故a.,答案,