1_11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差.pptx

高考数学,专题十一概率与统计11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差,考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.离散型随机变量的分布列1)一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数X()与之对应,我们称X为随机变量,可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,n为X的概率分布列,简称分布列.用表格表示如表:,其中,pi0,i=1,2,n;p1+p2+pn=1.,2.两点分布如果随机变量X的分布列为,则称离散型随机变量X服从两点分布或01分布.3.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.,4.离散型随机变量的均值与方差1)均值定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为,则E(X)=x1p1+x2p2+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2)方差定义:D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-=(xi-E(X)2pi为随机变量X的方差,为随机变量X的标准差,记作(X).它们都可以度量随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.,3)性质:E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X),其中a,bR;D(X)=E(X2)-E(X)2.4)两点分布的均值与方差E(X)=p,D(X)=p(1-p).5)超几何分布的均值,E(X)=np.,考法求离散型随机变量的均值与方差的方法求解离散型随机变量的均值与方差的一般步骤1)判断取值:判断随机变量的所有可能取值及取每个值所表示的意义;2)探求概率:利用排列组合、列举法、概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;3)写出分布列:按规定形式写出分布列,注意检验所求的分布列或事件的概率是否正确;4)求值:利用离散型随机变量的均值与方差的定义求值.,例1(2022湖北重点高中联考,18)中国载人航天工程办公室发布消息,为发挥中国空间站的综合效益,中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况,现从高三某班随机选取10名学生进行调查,发现有6名学生观看了直播,4名学生未观看直播.(1)若从这10名学生中任选2名学生,求至多有1名学生未观看直播的概率;(2)若从这10名学生中任选3名学生,记其中观看了直播的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.,解析(1)设“从10名学生中任选2名学生,至多有1名学生未观看直播”为事件A,则P(A)=.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则X的分布列为,所以E(X)=0+1+2+3=.,例2(2023届广东汕头潮阳实验学校、湛江一中、深圳实验学校三校联考,20)在一个口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的五张卡片,这些卡片除编号不同外其他都相同,从口袋中有放回地摸卡片3次.(1)求3次摸出卡片的数字之和为奇数的概率;(2)记这3次中摸出卡片的最大编号数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.,解析(1)要使3次摸出卡片的数字之和为奇数,则有1次或3次摸出的是编号为奇数的卡片,所以所求概率P=+=.(2)依题意X的可能取值为1、2、3、4、5,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以X的分布列为,所以E(X)=1+2+3+4+5=.,