第1页共29页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版9.2椭圆及其性质考点一椭圆的定义及标准方程1.(2021全国乙文,11,5分)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为()A.52B.√6C.√5D.2答案A解法一:由题意可知B(0,1),设P(x0,y0),则x025+y02=1,x02=5−5y02,|PB|=√x02+(y0−1)2=√5−5y02+y02−2y0+1=√−4y02−2y0+6=√−4(y0+14)2+254.因为-1≤y0≤1,所以y0=-14时,|PB|取得最大值52,故选A.解法二:由题意可知B(0,1),由点P在椭圆x25+y2=1上,可设P(√5cosθ,sinθ),则|PB|2=(√5cosθ)2+(sinθ-1)2=-4sin2θ-2sinθ+6=-4(sinθ+14)2+254,当sinθ=-14时,|PB|2取得最大值254,此时|PB|最大,为52,故选A.2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6答案C M在椭圆C:x29+y24=1上,且a=3,∴|MF1|+|MF2|=6, |MF1∨+|MF2∨¿2≥√|MF1∨·∨MF2∨¿¿¿,∴|MF1|·|MF2|≤¿¿=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.第2页共29页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版故选C.易错警示在用基本不等式求最值时,要满足“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可.3.(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若⃗BA1·⃗BA2=-1,则C的方程为()A.x218+y216=1B.x29+y28=1C.x23+y22=1D.x22+y2=1答案B由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则⃗BA1=(-a,-b),⃗BA2=(a,-b),所以⃗BA1·⃗BA2=-a2+b2=-1①,又e=ca=√1−b2a2=13,即b2a2=89②,联立①②,解得{a2=9,b2=8,所以椭圆C的方程为x29+y28=1.故选B.4.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案B依题意有25-m2=16, m>0,∴m=3.选B.5.(2013广东文,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x23+y24=1B.x24+y2√3=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1答案D由右焦点为F(1,0)可知c=1,因为离心率等于12,即ca=12,故a=2,由a2=b2+c2知b2=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.故选D.第3页共29页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版6.(2021全国甲理,15,5分)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为.答案8解析如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆方程x216+y24=1可得,2a=|PF1|+|PF2|=m+n=8,2c=|F1F2|=4√3.由P,Q...
