专题16 坐标系与参数方程.pdf

公众号:专题16坐标系与参数方程决明学长QQ群:真题自测新题速览对应学生用书P312543516101.课标全国201822在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y=klxl+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建设A,B,P对应的参数分别为，则t=,且t满立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcos0-3=0.足t2-2/2tsina+1=0.(1)求C的直角坐标方程；于是+t=22sin a,tp=2sin a.(2)若C与C2有且仅有三个公共点，求C的方程又点P的坐标(x,y)满足【解】(1)由x=pcos 0,y=psin0得C2的直角坐标方程为x=p cos a,(x+1)2+y2=4.ly=-2+tp sin a.(2)由(1)知C是圆心为A(-1,0),半径为2的圆所以点P的轨迹的参数方程是由题设知，C是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l,y轴左边的射线为.由于B在圆a.C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于与Ca为参数,a)只有一个公共点且L与C有两个公共点，或L与C.只有cos2a一个公共点且与C有两个公共点3.河北武邑中学2019届调研已知圆C的极坐标方程为p=当l与C2只有一个公共点时，A到所在直线的距离为2，3以-k+2=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1所以x=2+22cos0.直线的参数方程为(t为参数)，点A=+与C2没有公共点；当k=-时，与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点的极坐标为，)，设直线与圆C交于点P,Q11当与C只有一个公共点时，A到所在直线的距离为2，(1)写出圆C的直角坐标方程；所以k+21=2,故k=0或k=3(2)求AP1AQ的值.经检验，当k=0时，/k2+1【解】(1)由p=2cos 0,得p2=2pcos 0.与C2没有公共点；当k=时，2与C2没有公共点p2=x2+y2,pcos=x,.x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,即圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.综上，所求C1的方程为y=lxl+2.(2)由点A的极坐标()得点A的直角坐标2.课标全国201822在平面直角坐标系xOy中，0的参数方程为x=cos 0,为()(0为参数)，过点(0，-2)且倾斜角y=sin 为的直线与O交于A,B两点将=+代人(x-1)2+y2=1中，消去x,y整理得(1)求a的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程y=+【解】(1)0的直角坐标方程为x2+y2=1.2=0.当=时，1与0交于两点设1，为方程214=0的两个根，则=，当时，记tan=k,则1的方程为y=kx-2.1与01AP114Q1=1461=交于两点当且仅当1,解得k1,即e4广东化州2019届一模在平面直角坐标系x0y中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的(,)或a()极坐标方程为p=2sin 0,00,2).综上，的取值范围是()(1)求曲线C的参数方程；(2)1的参数方程为(2)在曲线C上求一点D,使它到直线1：x=1+(为度+in(为参数，a0)则的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y),称ly=psin 0,tan 0=(x0)=uy(0)为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换M(x.y)(2)极坐标系定义：在平面内取一个定点O,由点OPM(p.9)0人0引一条射线Ox,并确定一个长度单位、一个0 x377600会700高考数学切国点极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是：一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原，点重合：(2)极轴那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变与x轴的正半轴重合；(3)两坐标系中取相同的长度单位数：叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点由p=+y求p时，p不取负值：由an0=之(x0)确的坐标间关系的方程叫做普通方程，(2)参数方程和普通方程的互化定0时，根据，点(x,y)所在象限取最小正角。当x0时，0角才曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般能由an0=Y按上迷方法确定.当x=0时，an日没有意义，这地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数，的关系，例如x=(),把它代入普时又分三种情况：当x=0,y=0时，9可取任何值：当x=0,通方程，求出另一个变数与参数t的关系y=g(),那么y0时，可取0=号：当x=0y0)的参数方程为x=2p2(:为参数)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐Ly=2p标，y都是某个变数1的函数=)，并且对于1的每Ly=g(t).核心方法重点突破2.极坐标方程与直角坐标方程互化的方法方法1极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化中直角坐把x,y二m书代入极坐标1.极坐标与直角坐标互化的方法标方程狗面彩如m代”的影式，方程(1)将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(p,0)时，运用公式例，山东日照2018联考在平面直角坐标系x0,中，p=+7，an0=上(x0)即可.在0,2m)范围内，由an0=直线1过点P(0,-尽)且倾斜角为牙.以坐标原点为极点，二(x0)求0时，要根据直角坐标的符号待征判断出点所在x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程的象限.如果允许0R,再根据终边相同的角的意义，表示为0为p=4ea(0-号+2kr(kZ)即可.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线1的参数方程：(2)将点的极坐标(p,0)化为直角坐标(x,y)时，运用公式(2)设直线I与曲线C交于A,B两点，求IPAI+IPBx=pcos0,y=psin0即可.的值378专题16坐标系与参数方程1【解】(1)曲线C:p=4cos(0-号）户p=4 coscs号+方法三：国心到直线1的距离为山+1-41=2，所以直线4 inin号.【与圆相切，因此圆C上的，点到直线【的距离的最大值为直径长，即22.所以p2=2pcos0+23psin0,【反思】由直线的参数方程化为普通方程一般通过代入法即x2+y2=2x+23y,或者加减法消去参数得到：國雏曲线参数方程化为普通方程往得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=4,往运用同角基本关系式的平方关系进行转化1x=2,例3四川成都2019届考前模拟在直角坐标系x0y直线I的参数方程为(t为参数)中，直线【的方程是x=2,曲线C的参数方程为=3+24厂x=0Q,(a为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为Ly=1+sin ax=2,极轴建立极坐标系，(2)将(:为参数)代入國的方程，(1)求直线！和曲线C的极坐标方程：y=3+(2)射线0M:0=B(其中0B0，h0,【解】(1)8:直线4=2的极坐标方程是一所以IPAI+IPB|=1+2=7.pc0s0=2.例2广东广州2018高中毕业班综合测试（一）在直由厂r=c0sa,角坐标系0中，直线1的参数方程为=3-(4为参数)消去参数得x+(y-1)2=1,ly=1+sin aly=1+t.曲线C的极坐标方程是p=2sina在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲(2)将0=B分别代入p=2sin0,pcos0=2得10P1=线cp=22co(g-2sin B.10MI=2点cos B(1)求直线1的普通方程和曲线C的直角坐标方程；IOPI坐(2)求曲线C上的点到直线1的距离的最大值.【解11)由=3-4为参数)清去件y40.0B受028m00.2.普通方程化为参数方程选取合适的参数t,确定x=f(t),再代人普通方程，求得设点A,B对应的参数分别为t1,2,则t1+12=-43,=7,y=(t),即可化为参数方程x=f(t),注意参数的意义和取所以|AB=1t1-12=(11+12)2-41112=25.380专题16坐标系与参数方程例10在直角坐标系xOy中，已知曲线C1:方法3参数方程的应用x=1+cos a,1.直线方程中参数的几何意义的应用9(为参数，aR).在以坐标原点O为极点，xy=sin-4经过点P(x,y),倾斜角为的直线的参数方程为轴的正半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线x=+cos a(t为参数).若M1,M为直线l上的两点，其y=yo+tsin aC2:psin(0+)=-曲线C3:p=2cos0.对应的参数分别为t1,t2,线段M1M2的中点为M,点M所对(1)求曲线C与C2的交点M的直角坐标；应的参数为t,则：2)设A,B分别为曲线C2,C上的动点，求1AB1的最小值(2)1PM1=11=解】(1)Gy三-9(3)弦IM1M21-12-41-(4+2)2-42(4)PMIPM2=t.y=-+1-cos2a=-(x-1)2,注意在直线的参数方程中，参数的系数的平方和为1.曲线C1的普通方程为y=-(x-1)2(0 x2).时，！才有几何意义，即直线的参数方程不是标准形式的时候，先要化成标准形式.其几何意义为1t1是直线上任一点A(x,y)由:psin(0+)=-2,得psin0+pcos 0=-1,到B(x,y)的距离，即AB=t.2.求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时，往曲线C2的直角坐标方程为x+y+1=0.往通过参数方程引人三角函数，再借助三角函数的性质进行求解掌握参数方程与普通方程互化的规律是求解此类问题的关键由=-(x-)得4x2-12x+5=0,x+y+1=0例9山西省际名校2017联考（一）在直角坐标系x=2+t,x=(x=舍去)2xOy中，直线I的参数方程为(t为参数).以直角=.点M的直角坐标为()(2)由C3:p=2cos 0,得p2=2pcos 0,曲线C3的直角坐坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则曲线C3的圆线C的极坐标方程为psin20-4cos0=0.(1)求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；心(1,0)到直线x+y+1=0的距离d=11+0+1=2.圆2(2)已知直线与曲线C交于A,B两点，设M(2,0),求C3的半径为1,AB1i=2-1.1MAMB的值坐标系与参数方程例11山东、湖北部分重点中学2018冲刺模拟在直角x=2+2cos a【解】(1)将t=2x-4代入y=坐标系xOy中，曲线C的参数方程为其中y=2sin a.得直线l的普通方程为3x-y-23=0.为参数，曲线C2:x2+y2-2y=0.以原点O为极点，x轴的正半psin20-4cos=0两边同乘p,得p2sin20-4pcos =0，轴为极轴建立极坐标系，射线1：0=(p0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O)则曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程；x=2+t,(2)将(t为参数)代入y2=4x,(2)当0B时，求10A12+10B12的取值范围【解】(1)C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,C1的极坐标得3t2-8t-32=0.方程为p=4cos 0,C2的极坐标方程为p=2sin 0.设3t2-8t-32=0的两个根为1,2，即点A,B对应的参数，(2)联立0=B(p0)与C1的极坐标方程得1OA12=16cos2，联立0=(p0)与C2的极坐标方程得1OB12=4sin2B,则t号号.10A12+1OB12=4+12cos2B=6cos 2B+10.又0号，.02，10A12+1OB2(4,16).基础好题发展练对应学生用书P317tsin 40+3A.40B.50直线=-teos 40(t是参数)的倾斜角是()C.130D.140381