2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（一）解析版.pdf

公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（一）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（为虚数单位）的共轭复数是（）21 iiABCDi1 1i1 ii1【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，故选 C.21ii1 1 i2已知集合则等于（）|110,PxNx2|60,QxR xxPQABCD1,2,32,3 1,2 2【答案】D【解析】试题分析：.故选 D.2|603,2QxR xx 2PQ公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞34 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）ABCD13122334【答案】C【解析】取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，=，故选 C.112224C CC234若等差数列和等比数列满足，则（）na nb11443,24abab 22abA-1B1C-4D4【答案】B【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，nad nbq因为，所以，解得，因此，所以11443,24abab 413413278daabqb 92dq 212166aadbbq.故选 B.221ab5如图所示的程序框图，该算法的功能是()公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞A计算的值012(12)(22)(32)(12)nn B计算的值123(12)(22)(32)(2)nnC计算的值(123)n012(22212)nD计算的值123(1)n012(2222)n【答案】C【解析】试题分析：初始值，第 次进入循环体：，；当第次进入循环体时：1,0kS=1012S 2k 2，给定正整数，当时，最后一次进入循环体，则有：011222S 3k nkn，退出循环体，输出011222S 12nn 1knS(123)n，故选 C012(22212)n6已知是边长为的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则的最小值是ABC20a a PAPBPC （）ABCD22a232a243a2a【答案】B公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】建立如图所示的平面直角坐标系设，则(,)P x y0,3,0,0,AaBaC a,3,PAxayPBaxyPCaxy 所以PAPBPC ,3,xayaxyaxy ,所以最小值为，,32,2xayxy 22222 3xyay222332222xyaa232a所以选 B.7已知函数，则()222cossin2f xxxA的最小正周期为，最大值为 f x3B的最小正周期为，最大值为 f x4C的最小正周期为，最大值为 f x23D的最小正周期为，最大值为 f x24【答案】B【解析】根据题意有，1 cos2x35cos212cos2222f xxx 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选 B.f x22T max35422f x8（2019江西南昌十中高三期中（文）已知奇函数，且在上是增函数.若()f x()()g xxf x0,)，则的大小关系为()2(log 5.1)ag0.8(2)bg(3)cg,a b cABCDabccbabacbca【答案】C【解析】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x()()g xxf xR0,)，又，则，所以即22(log 5.1)(log 5.1)agg0.82245.1822log 5.13，0.8202log 5.13，所以，故选 C0.82(2)(log 5.1)(3)gggbac9已知正方体的棱长为 2，直线平面.平面截此正方体所得截面有如下四1111ABCDABC D1AC 个结论：截面形状可能为正三角形；截面形状可能为正方形；截面形状不可能是正五边形；截面面积最大值为则正确的是（）3 3A B C D【答案】D【解析】对,当截此正方体所得截面为时满足.故正确.11BCD公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞对,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故错误.对,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故正确.对,当截面为正六边形时面积最大,为.故正确.故选 D.23623 3410已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是（na21021nann nSn mnmSS）A5B10C15D20【答案】B【解析】数列的通项公式,na21021(3)(7)nannnn 当时，当或是,最大值为或37n0na 2n 8n 0na nS6S7S最小值为或,的最大值为,故选 B.mS2S3SnmSS6345634310SSaaa11椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且2222:1(0)xyCabab12,F FOA，与关于原点对称，且，则椭圆离心率为（）160AOFAAO220F AF A ABCD313231242 3【答案】A【解析】连结，由与关于原点对称，且与关于原点对称，可知四边形1A F1AFAAO1F2FO为平行四边形，又，即可知四边形为矩形，12AF A F220F AF A 22F AF A12AF A F又，同理有，由椭圆的定义可得，1,AOOF160AOF11,AFOFc23AFc32cca公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞.故选 A.23131cea 12不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）3ln1xx eaxx(1,)xaABCD(,1 e2(,2e(,2(,3【答案】D【解析】题意即为对恒成立，3ln1xa xx ex1,x 即对恒成立，从而求，的最小值，而31lnxx exax1,x 31lnxx exyx1,x,故,33ln3ln3ln1xxxxxx eeeexx313ln113lnxx exxxxx 即,当时，等号成立，方程在内有根，故313ln3lnlnxx exxxx 3ln0 xx3ln0 xx1,，所以，故选 D3min13lnxx exx 3a 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为_.221yxk2 2k【答案】8【解析】由双曲线得其中一个焦点为，其中一条渐近线方程为，所以焦点221yxk10k ，ykx到直线的距离为，所以.故答案为.12 21kkk8k 814若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 sin()cosaxf xx(,)6 3a公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】2,)【解析】试题分析：因为函数在区间上单调递增sin()cosaxf xx(,)6 3所以在区间恒成立，()0fx(,)6 3,因为，所以在区间22cossin(sin)(sin)sin1()coscosxxaxxaxfxxx 2cos0 x sin10ax 恒成立,所以,因为，所以,所以的取值(,)6 31sinax(,)6 3x 132 31sin2223sinxxa范围是.2,)15据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45方向的处的热带风暴中心正以的速度600kmA20km/h向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头450km将受到热带风暴影响.【答案】15【解析】记 小时后热带风暴中心到达点位置，在中，,tBOAB600kmOA20 kmABt,45OAB根据余弦定理得，22226004002600202OBtt令，即，解得,22450OB 24120 21575 0tt30 21530 21522t 所以该码头将受到热带风暴影响的时间.30 21530 21515(h)22公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞16在三棱锥中，二面角的余弦值为，当三棱锥ABCD60BACBDC ABCD13的体积的最大值为时，其外接球的表面积为_.ABCD64【答案】6【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为OABC1OBCD2O则二面角的平面角为,点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，由图知，ABCDAMDA1OD2O当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形,ABACBDCDABCDABCBDC设，则，.BCa32AMDMa234BCDSa,6sin()3hAMAMDa31263124A BCDDBCVSha解得，所以,，设3a 32DM 21DO 212O M 2AMD则,解得,球的半径21cos22cos13 tan2222tan2OOO MO,所求外接球的表面积为.222262RDOOO246SR公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）已知内接于单位圆，且，ABC1tan1tan2AB（1）求角；C（2）求面积的最大值ABC【解析】（1）,，112tanAtanB1tanAtanBtanA tanB，.11tanAtanBtanCtan ABtanAtanB 3C0,4C（2）的外接圆为单位圆，其半径，由正弦定理可得，由余弦定理可得ABC1R 22cRsinC，代入数据可得，当且仅当 a=b2222cababcosC2222abab2222ababab时，“=”成立,，的面积，222abABC1122122222SabsinC面积的最大值为.ABC21218（12 分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，PABCDABCDPA ABCD2 2AC，是上的一点，2PA EPC2PEEC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（1）证明平面；PC BED（2）设二面角为，求与平面所成角的大小.APBC90PDPBC【解析】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，AAxyz2,0Db2 2 0 0C，0 0 2P，4 22,0,33E20Bb，2 2 02PC ，22,33BEb，2233DEb，44033PC BE 0PC DE PCBEPCDE，BEDEE平面.PC BED（2），设平面的法向量为，则0 0 2AP ，2,0ABb PAB,x y zm，2020m APzm ABxby 取，设平面的法向量为，则，2 0bm，PBC,pnq r2 22032023n PCprn BEpbqr 取，平面平面，故，21,2bnPAB PBC20m nbb 2b，1,1,2n 22 2DP ，1cos,2n DPDP nnDP 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞设与平面所成角为，则，PDPBC02，1sin230与平面所成角的大小为.PDPBC3019（12 分）已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、22yx(1,1)P1k2kABCDM分别为线段、的中点NABCD（1）若为线段的中点，求直线的方程；PABAB（2）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标121kkMN【解析】（1）设，则，11,A x y22,B xy2112yx2222yx，得 1212122yyyyxx又因为是线段的中点，所以,所以，1,1PAB122yy21121212=1yykxxyy又直线过，所以直线的方程为.AB 1,1PAByx（2）依题设，直线的方程为，即，,MMM xyAB111ykx 111yk xk 亦即，代入抛物线方程并化简得 12yk xk2221122220k xk kxk公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞所以，,于是，12121222112222k kk kxxkk 12211Mk kxk12121221111MMk kykxkkkkk同理，易知，所以直线的斜率12221Nk kxk21Nyk120k k MN21211MNMNyyk kkxxk k故直线的方程为，即此时直线过定点MN2 112212 11111k kk kyxkk kk212111k kyxk k0,1故直线恒过定点MN0,120（12 分）有人收集了 10 年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：第 n 年12345678910年收入亿元()x32.031.033.036.037.038.039.043.045.010 x商品销售额万元（）y25.030.034.037.039.041.042.044.048.010y且已知101380.0iix（1）求第 10 年的年收入；10 x（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程，363254yxa求第 10 年的销售额；10y如果这座城市居民的年收入达到 40 亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到 0.01）附：（1）在线性回归方程中，.ybxa1221,niiiniix ynx ybayb xxnx（2），.1022110254.0iixx91125875.0iiix y91340.0iiy公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）依题意，101380.0iix则，解得.103231 33363738394345380 x1046x（2）由居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程=知xyy363254xa ，即，即，363254b 101102211036325410iiiiix yxybxx1010340128754610 3836310254254yy解之得：.1051y易得，代入得：，38x 39.1y 363254yxa36339.138254a解得，所以，当时，15.21a 36315.21254yx40 x 36340 15.2141.96254y 故若该城市居民收入达到亿元，估计这种商品的销售额是万元.40.041.9621（12 分）设函数为的导函数.()e cos,()xf xxg x f x（1）求的单调区间；f x（2）当时，证明；,4 2x()()02f xg xx（3）设为函数在区间内的零点，其中，证明nx()()1u xf x2,242mmnN.20022sincosnnnxxex【解析】(1)由已知，有.ecossinxfxxx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当时，有，得，则单调递减;52,244xkkkZsincosxx 0fx f x当时，有，得，则单调递增.32,244xkkkZsincosxx 0fx f x所以，的单调递增区间为，f x32,244kkkZ的单调递减区间为.f x52,244kkkZ(2)记.依题意及(1)有：，2h xf xgxx cossinxg xexx从而.当时，故()2sinxg xex,4 2x 0gx.()()()()(1)()022h xfxg xxg xg xx因此，在区间上单调递减，进而.h x,4 2()022h xhf所以，当时，.,4 2x()()02f xg xx(3)依题意，即.记，则.10nnu xf x ecos1nxnx 2nnyxn,4 2ny 且.由及()得 ecosnynnfyy22ecos2enxnnnxnnN 20e1nnfyfy.由(2)知，当时，所以在上为减函数，0nyy,4 2x 0gx g x,4 2 因此.又由()知，故：004ng yg yg 02nnnfyg yy公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞.2e2nnnnnfyyg yg y 022200000sincossincosnnnyeeeg yeyyxx所以.200e22sincosnnnxxx(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A1C221424xyx的极坐标方程为，为上任意一点.2C210 cos240B2C（1）写出参数方程和普通方程；1C2C（2）求最大值和最小值.AB【解析】（1）由题意可得的参数方程为：（为参数），1C2cos,2 6sin,xy又，且，210 cos240222xycosx的普通方程为，即.2C2210240 xyx2251xy（2）由（1）得，设，圆的圆心，2cos,2 6sinA2C5,0M则22|2cos52 6sinAM220cos20cos49，当时，；2120 cos542cos1,1 1cos2 max|3 6AM当时，.当时，；cos1min|3AM1cos2 maxmax|13 61ABAM 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当时，.cos1minmin|12ABAM 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知函数，.()2f xxa()4g xxaR（1）解不等式；()()f xg xa（2）任意，恒成立，求的取值范围.xR2()()f xg xaa【解析】（1）不等式即，f xg xa24xx两边平方得，解得，所以原不等式的解集为.2244816xxxx1x 1,（2）不等式可化为，2f xg xa224aaxx又，所以，解得，24246xxxx26aa23a 所以的取值范围为.a2,3公众号：卷洞洞