2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（三）（解析版）.docx

公众号：卷洞洞 2020年高考金榜冲刺卷（三） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合那么集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得所以，选D. 2．是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】,复数为纯虚数,，故选A. 3．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图： 则下列说法错误的是（ ） A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况 B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加 C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质 D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过 【答案】C 【解析】2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故A正确；2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故B正确； 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III类水质，故C错误； 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过，故D正确.故选C． 4．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，可得， 函数是奇函数，排除B，时，，排除D，时，，对应点在第四象限，排除C.故选A. 5．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为，∴．∵顶点到一条渐近线的距离为1，∴，∴，∴双曲线的方程为，焦点坐标为，∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为． 6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( ) A．43斛 B．45斛 C．47斛 D．49斛 【答案】D 【解析】观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：（尺），则该粮仓存放的米约为（斛）.故选D. 7．已知，若的任意一条对称轴与轴的交点横坐标都不属于区间，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以由可得，其对称轴方程，由题设且，即且，也即且，解之得，故选C. 8．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“”通用代码，它是由从左到右排列的个数字（用，，…，表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中是校验码，用来校验前个数字代码的正确性．图（1）是计算第位校验码的程序框图，框图中符号表示不超过的最大整数（例如）．现有一条形码如图（2）所示（），其中第个数被污损，那么这个被污损数字是（ ） 　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由程序框图可知，表示的结果为前项中所有偶数项之和；表示的结果为前项中所有奇数项之和，则：， ,，，即：, 且,,当时，，此时：，解得：,当时，，此时：, ,综上所述：,故选B. 9．函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，. .将代入， 得，，，在处的切线斜率为，函数在处的切线方程为，即.所以答案为D. 10．已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，在中，由余弦定理可得， . 在中，由余弦定理可得， ，即有， 又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时， ，解得.故的最大值为,故选A. 11．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【解析】 设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时， 分别过点作，垂足为，过点作交于点， 则，，， 在中，由，可得，轴，，，直线方程， 由可得点的坐标：, ，代入抛物线的方程化简可得：， 该抛物线的焦点到准线的距离为，故选D. 12．函数，当在上变化时，设关于的方程的不同实数解的个数为，则的所有可能的值为（ ） A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5 【答案】A 【解析】因为,所以由方程可得或，且,不妨设则，又因为，由得或，当时，，函数在区间上单调递增，且，当时，，所以函数在区间上单调递减，当时，，所以函数在区间上单调递增，且当时，，此时，由图象可知无解，有三个解;当时，，此时，由图象可知有一个解，有两个解，即方程共有三个解；当时，，此时，由图象可知有两个解，有一个解，方程有三个不同的解，综上所述，关于的方程共有三个不同的解.故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量， ， 若，则_______． 【答案】 【解析】由题意得，∵)，∴，∴，故答案为． 14．设变量满足约束条件，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 画出不等式组表示的平面区域，如图所示． 表示可行域内的点与点连线的斜率．结合图形得，可行域内的点A与点连线的斜率最大．由，解得．所以点A的坐标为．∴．答案：. 15．，则__________． 【答案】 【解析】将所给的等式两侧求导可得： ， 令 可得： ，令 可得： ， 据此可得： . 16．如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直于； ③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】对于①，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以①正确.对于②，过作，交于.由于，所以平面，而，所以平面.所以，所以平面，所以，所以②错误.对于③，由于两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为（或），也即球心在与的交点处.由于,所以平面，所以动点到平面的距离为定值，而三角形面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以③正确. 对于④，将两个半平面与展开成矩形（平面图形）,则的最小值为.故④正确.故答案为：①③④. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：． 【解析】(1)由，则 . 当时，，综上. （2）由. . 得证. 18．(12分）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示： （1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）； （2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者”奖励金额每人元；“超健康生活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布， 则，. 【解析】（1） . （2）∵，∴，， ∴ . 走路步数的总人数为人. （3）由题意知的可能取值为，，，，， ， ， ， ， . 则的分布列为： . 19．(12分）在四棱锥中，，． （1）若点为的中点，求证：平面； （2）当平面平面时，求二面角的余弦值． 【解析】(1)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，. ∵，，∴， ∴，∴.又∵平面，平面， ∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥. 又∵平面，平面，∴∥平面. ∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面. (2)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，，∴， ∵，，∴.令，得，∴， ∴.设二面角的大小为，则. 20．(12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距比为，过的直线与交于、两点. （1）当的斜率为时，求的面积； （2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程. 【解析】（1）依题意，因，又，得， 所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：,将直线与椭圆方程联立，消去得，，解得，，， 所以 . （2）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，， 设线段的中点，设线段的中点，则，， 设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得. ，整理得：， ，等号成立时. 故当截距最小为时，，此时直线的方程为. 21．(12分）已知函数，． （1）试判断函数的单调性； （2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，函数的定义域为，． ①当时，，所以函数在上单调递增． ②当时，令，即，即，． 当，即时，，故，所以函数在上单调递增． 当，即时，方程的两个实根分别为，． 若，则，，此时，所以函数在上单调递增； 若，则，，此时当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得，当时，函数在上单调递增，故函数无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时函数有极大值，极大值为，其中． 又，所以，即，所以． 令，则，所以函数在上单调递增． 又，所以当时，，所以等价于， 即当时，，即，显然当时，，所以，即，解得， 故存在满足条件的实数，使函数的极值大于，此时实数的取值范围为． (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； （2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值． 【解析】（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=. 由|OP|=16得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为. （2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积 当时， S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知关于的不等式对恒成立． （1）求实数的最小值； （2）若，，为正实数， 为实数的最小值，且，求证：． 【解析】（1）由，∵对恒成立，，∴最大值为1． （2）由（1）知，即， ．当且仅当时等号成立，∴． 公众号：卷洞洞