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2020
年高
数学
金榜
冲刺
原卷版
公众号:卷洞洞
2020年高考金榜冲刺卷(三)
数学(理)
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:高中全部内容.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合那么集合为( )
A. B. C. D.
2.是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )
A. B. C. D.
3.根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据,得到如下饼图:
则下列说法错误的是( )
A.2018年的水质情况好于2017年的水质情况
B.2018年与2017年相比较,Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加
C.2018年与2017年相比较,占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质
D.2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过
4.函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
5.设双曲线C:的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A.2 B. C. D.4
6.《海岛算经》中有这样一个问题,大意为:某粮行用芦席围成一个粮仓装满米,该粮仓的三视图如图所示(单位:尺,1尺米),已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,则估算出该粮仓存放的米约为( )
A.43斛 B.45斛 C.47斛 D.49斛
7.已知,若的任意一条对称轴与轴的交点横坐标都不属于区间,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“”通用代码,它是由从左到右排列的个数字(用,,…,表示)组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码,其中是校验码,用来校验前个数字代码的正确性.图(1)是计算第位校验码的程序框图,框图中符号表示不超过的最大整数(例如).现有一条形码如图(2)所示(),其中第个数被污损,那么这个被污损数字是( )
A. B. C. D.
9.函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
10.已知平面图形为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且,则四边形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线,过其焦点的直线交抛物线于两点,若,且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称,则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.4 B.5 C. D.6
12.函数,当在上变化时,设关于的方程的不同实数解的个数为,则的所有可能的值为( )
A.3 B.1或3 C.3或5 D.1或3或5
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量, , 若,则_______.
14.设变量满足约束条件,则的最大值是__________.
15.,则__________.
16.如图,三棱柱中,侧棱底面,,,,外接球的球心为,点是侧棱上的一个动点.有下列判断:①直线与直线是异面直线;②一定不垂直于; ③三棱锥的体积为定值;④的最小值为.其中正确的序号是______.
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求证:.
18.(12分)习近平总书记在党的十九大工作报告中提出,永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活.当前,“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”,不少于千步的人为“超健康生活方式者”,其他为“一般生活方式者”.某日,学校工会随机抽取了该校名教职工,统计他们的日行步数,按步数分组,得到频率分布直方图如图所示:
(1)求名教职工日行步数(千步)的样本平均数(结果四舍五入保留整数);
(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数(千步)服从正态分布,其中为样本平均数,标准差的近似值为,求该校被抽取的名教职工中日行步数(千步)的人数(结果四舍五入保留整数);
(3)用样本估计总体,将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象,规定:“不健康生活方式者”给予精神鼓励,奖励金额每人元;“一般生活方式者”奖励金额每人元;“超健康生活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的分布列和数学期望.
附:若随机变量服从正态分布,
则,.
19.(12分)在四棱锥中,,.
(1)若点为的中点,求证:平面;
(2)当平面平面时,求二面角的余弦值.
20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,.椭圆的长轴与焦距比为,过的直线与交于、两点.
(1)当的斜率为时,求的面积;
(2)当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时,求直线的方程.
21.(12分)已知函数,.
(1)试判断函数的单调性;
(2)是否存在实数,使函数的极值大于?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
(二)、选考题:共10分.请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.【极坐标与参数方程】(10分)
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.
23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)
已知关于的不等式对恒成立.
(1)求实数的最小值;
(2)若,,为正实数, 为实数的最小值,且,求证:.
公众号:卷洞洞